Месячная выручка r(p) составит не менее 600 тыс. руб

Задание

Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой  q=100-4*p. Выручка предприятия r (в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле r(p) = q·p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 600 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. за ед.

Решение

1. Подставим в формулу r(p) = q p вместо q  зависимость q=100-4*р:

r(p) = (100-4*р)·p

2. Раскроем скобки:

r(p) = (100-4*р)·p
r(p) = 100*р-4*р²
100*р-4*р²-r(p) = 0

3. Подставим минимальную выручку и найдем наибольшую цену, при которой данная выручка достигается:

100*р-4*р²-600 = 0
25*р-р²-150 = 0
р²-25*р+150 = 0

Решим данное квадратное уравнение через дискриминант:

D = b²–4ac

D = 25²-4·1·150 = 25

р_1,2 = ( -b ± √D)/2a

р₁ = (25+5)/2 = 15 тыс. руб.
р₂ = (25-5)/2 = 10 тыс. руб.

Получили 2 варианта, при которых выручка составит 600 тыс. руб. Выберем из них наибольший:

15 тыс. руб. – наибольшая цена, при которой выручка составит не менее 600 тыс. руб.

Ответ: 15