Наибольшая цена p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 700 тыс. руб

Задание

Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой  q=170-10*p. Выручка предприятия r (в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле r(p)=q·p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 700 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. за ед.

Решение

1. Подставим в формулу r(p)=q*p вместо q  зависимость q=170-10*р:

r(p) = (170-10*р)·p

2. Раскроем скобки:

r(p) = (170-10*р)·p
r(p) = 170*р-10*р²
170*р-10*р²-r(p) = 0

3. Подставим минимальную выручку и найдем наибольшую цену, при которой данная выручка достигается:

170*р-10*р²-700 = 0
17р-р²-70 = 0
р²-17*р+70 = 0

Решим данное квадратное уравнение через дискриминант:

D = b²–4ac

D = 17²-4·1·70 = 9
р_1,2 =(-b±√D)/2a
р₁ = (17+3)/2 = 10 тыс. руб.
р₂ = (17-3)/2 = 7 тыс. руб.

Получили 2 варианта, при которых выручка составит 700 тыс. руб. Выберем из них наибольший.

10 тыс. руб. – наибольшая цена, при которой выручка составит не менее 700 тыс. руб.

Ответ: 10