Объём конуса 125, точка делит высоту в отношении 1:4

Задание

Объём конуса равен 125. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Решение

1. Объем конуса равен одной трети произведения площади его основания на высоту. Основанием конуса является круг, тогда объем конуса равен:

V = 1/3*Sосн*h = 1/3*π*D²/4*h

2. Для удобства введем буквенные обозначения (так как представлено на рисунке). Треугольники АВС и АНМ – подобны по трем углам. Из подобия треугольников следует:

ВС:НМ = AO:AS = 1:5 (из условия AO:OS =1:4, AS составляет 1+4=5 частей).

Получаем НМ=5*ВС, AS=5*AO

2. Объём изначального конуса равен:

V1 = 1/3*π*D²/4*h = 1/3*π*НМ²*АS = 1/3*π*(5*BC)²*(5*AO) = 125

3. Объём второго конуса (отсекаемого от исходного) равен:

V2 = 1/3*π*D²/4*h = 1/3*π*ВС²*AO

4. Определим, во сколько раз объем изначального конуса больше объема отсекаемого. Для этого разделим объем первого конуса на объем второго:

V1/V2 = (1/3*π*(5*BC)²*(5*AO))/(1/3*π*ВС²*AO) = 125

В 125 раза объем изначального конуса больше объема отсекаемого.

5. Осталось найти объем конуса, отсекаемого от исходного конуса, проведенной плоскостью:

V2 = V1/125 = 125/125 = 1 – объем конуса, отсекаемого от исходного конуса.

Ответ: 1