Задание 14 (№ 3973)

Найдите наименьшее значение функции y = х2 – 3х + lnх + 3 на отрезке [3/4;5/4].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них и в точках на концах отрезка наименьшее или наибольшее значение функции, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная от простых математических функций: (lnx) = 1 / х ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, хn = n·  хn-1, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = х2 – 3х + lnх + 3:

y = (х2 – 3х + lnх + 3) = (х2) — (3х) + (lnх) + (3) = 2х – 3 + 1/х

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

2х – 3 + 1/х = 0

(2х2 – 3х + 1) / х = 0

Знаменатель у дроби равен нулю быть не может, то есть  х ≠ 0, поэтому

2 – 3х + 1 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Получим:

Х1 = 1 / 2

Х2 = 1

  1. Получили две стационарные точки. Данные точки лежит в рассматриваемом отрезке [3/4;5/4]. Поэтому в этих точках и точках на концах отрезка, а именно в точках х = 3 / 4 и х = 5 / 4 будем определять значение функции. А затем просто выберем наименьшее.

у(1/2) = (1/2)2 – 3·1/2 + ln(1/2) + 3 ≈ 1,05

у(1) = (1)2 – 3·1 + ln1 + 3 = 1

у(3/4) = (3/4)2 – 3·3/4 + ln(3/4) + 3 ≈ 1,02

у(5/4) = (5/4)2 – 3·5/4 + ln(5/4) + 3 ≈ 1,04

  1. Делаем вывод, что

у = 1 —  наименьшее значение функции на отрезке [3/4;5/4].

Ответ: 1