Найдите наибольшее значение функции y = 7tgх – 7х + 6 на отрезке [-π/4;0].
Решение
- Данная задача решается по следующему алгоритму:
1)Находим производную от данной функции;
2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).
5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.
- Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
- В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:
-Производная от произведения двух множителей: (f · g)‘ = f ‘ · g + g ‘ ·f
-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)‘ = f ‘ ± g ‘
-Производная от простых математических функций: С‘ = 0; x‘ = 0; (С · х)‘ = С · х‘ , (tgx)‘ = 1 / cos2 x, где С – постоянное число.
- С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 7tgх – 7х + 6:
y‘ = (7tgх – 7х + 6)‘ = (7tgх)‘ — (7х)‘ + (6)‘ = 7 / cos2 x – 7 + 0 = 1 / cos2 x – 1
- Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):
1 / cos2 x – 1 = 0
1 / cos2 x = 1
cos2 x = 1
cos x = ± 1
1)Если cos x = 1, то х = 2πk, k – любое целое число.
2)Если cos x = — 1, то х = π + 2πk, k – любое целое число.
Определим, какие значения х попадают в отрезке [-π/4;0]. Это
х = 0, при k = 0 (для первого варианта) – стационарная точка.
- Теперь определим значение исходной функции в стационарной точке и на концах отрезках, то есть в точках х = -π/4 и х = 0.
у(-π/4) = 7tg(-π/4) – 7 · (-π/4) + 6 = 7 · (-1) + 1,75π + 4 = -3 + 1,75π
у(0) = 7tg0 – 7 · 0 + 6 = 7 · 0 – 0 + 6 =6
- Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [-π/4;0] равно у = 6.
Ответ: 6
