Найдите наибольшее значение функции y=16х-6sinx+4

Задание

Найдите наибольшее значение функции y = 16х — 6 sin x + 4 на отрезке [-π/2;0].

Решение

Данная задача решается по следующему алгоритму:

  1. Находим производную от данной функции;
  2. Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
  3. Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
  4. Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).
  5. Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.

В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

  • Производная от произведения двух множителей: (f * g) = f * g +  g * f
  • Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g
  • Производная от простых математических функций: С= 0; x = 0; (С * х) = С * х, (sinx) = cosx,  где С – постоянное число.

С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 16х — 6 sin x + 4:

y = (16х — 6 sin x + 4) = (16х) — (6 sin x) + (4) = 16 – 6 cosx + 4 = 16 – 6cosx

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

16 – 6 cosx = 0
-6 cosx = -16
cosx = 16 / 6

Данное уравнение решений не имеет, так как косинус быть больше 1 не может. Следовательно, стационарных точек нет.

Значит, определим значение исходной функции на концах отрезках, то есть в точках х = -π/2 и х=0.

у(-π/2) = 16 * (-π/2) — 6 sin( -π/2) + 4 = -8π – 6 * (-1) + 4 = -4π +10
у(0) = 16 * 0 — 6 sin 0 + 4 = 0 – 0  + 4 = 4

Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [-π/2;0] равно у = 4.

Ответ: 4

smartrepetitor.ru
Adblock
detector