Найдите наименьшее значение функции y = 6 cosx — 9x + 8 на отрезке [-3π/2;0].
Решение
- Данная задача решается по следующему алгоритму:
1)Находим производную от данной функции;
2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).
5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.
- Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
- В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:
-Производная от произведения двух множителей: (f · g)‘ = f ‘ · g + g ‘ ·f
-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)‘ = f ‘ ± g ‘
-Производная от простых математических функций: С‘ = 0; x‘ = 0; (С · х)‘ = С · х‘ , (cosx)‘ = -sinx, где С – постоянное число.
- С помощью данных формул находим производную исходной функции у = 6 cosx — 9x + 8:
y‘ = (6cosx — 9x + 8)‘ = (6 cosx)‘ — (9x)‘ + (8)‘ = — 6 sinx – 9 + 0 = -6 sinx — 9
- Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):
-6 sinx — 9 = 0
-6 sinx = 9
sinx = — 9 / 6
Данное уравнение решений не имеет, так как синус быть меньше -1 не может.
Следовательно, стационарных точек нет.
- Значит, определим значение исходной функции на концах отрезках, то есть в точках х = -3π/2 и х = 0.
у(-3π/2) = 6 cos(-3π/2) – 9 · (-3π/2) + 8 = 6 · 0 + 27π/2 + 8 = 13,5π + 8
у(0) = 6 cos0 – 9 · 0 + 8 = 6 · 1 + 8 = 14
- Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [-3π/2;0] равно у = 14.
Ответ: 14
