Задание 14 (№ 3449)

Найдите наименьшее значение функции y = 6 cosx — 9x + 8 на отрезке [-3π/2;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная от простых математических функций: С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (cosx) = -sinx,  где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции у = 6 cosx — 9x + 8:

y = (6cosx — 9x + 8) = (6 cosx) — (9x) + (8) = — 6 sinx  – 9 + 0 = -6 sinx — 9

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

-6 sinx — 9 = 0

-6 sinx = 9

sinx = — 9 / 6

Данное уравнение решений не имеет, так как синус быть меньше -1 не может.

Следовательно, стационарных точек нет.

  1. Значит, определим значение исходной функции на концах отрезках, то есть в точках х = -3π/2 и х = 0.

у(-3π/2) = 6 cos(-3π/2) – 9 · (-3π/2) + 8 = 6 · 0 + 27π/2 + 8 = 13,5π + 8

у(0) = 6 cos0 – 9 · 0  + 8 = 6 · 1 + 8 = 14

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [-3π/2;0] равно у = 14.

Ответ: 14

smartrepetitor.ru
Adblock
detector