Найдите наименьшее значение функции y = 12 cosx — 13x + 7 на отрезке [-3π/2;0].
Решение
- Данная задача решается по следующему алгоритму:
1)Находим производную от данной функции;
2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).
5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.
- Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
- В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:
-Производная от произведения двух множителей: (f · g)‘ = f ‘ · g + g ‘ ·f
-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)‘ = f ‘ ± g ‘
-Производная от простых математических функций: С‘ = 0; x‘ = 0; (С · х)‘ = С · х‘ , (cosx)‘ = -sinx, где С – постоянное число.
- С помощью данных формул находим производную исходной функции у = 12 cosx — 13x + 7:
y‘ = (12cosx — 13x + 7)‘ = (12 cosx)‘ — (13x)‘ + (7)‘ = — 12 sinx – 13 + 0 = -12 sinx — 13
- Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):
-12 sinx — 13 = 0
-12 sinx = 13
sinx = — 13 / 12
Данное уравнение решений не имеет, так как синус быть меньше -1 не может.
Следовательно, стационарных точек нет.
- Значит, определим значение исходной функции на концах отрезках, то есть в точках х = -3π/2 и х = 0.
у(-3π/2) = 12 cos(-3π/2) – 13 · (-3π/2) + 7 = 12 · 0 + 39π/2 +7 = 19,5π + 7
у(0) = 12 cos0 – 13 · 0 + 7 = 12 · 1 + 7 = 19
- Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [-3π/2;0] равно у = 19.
Ответ: 19
