Задание 14 (№ 3407)

Найдите наибольшее значение функции y = 5 Задание 14 (№ 3407) cosx + 5x — 5π/4 + 11 на отрезке [0;π/2].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная от простых математических функций: С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (cosx) = -sinx,  где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции у = 5 Задание 14 (№ 3407) cosx + 5x — 5π/4 + 11:

y = (5 Задание 14 (№ 3407) cosx + 5x — 5π/4 + 11) = (5 Задание 14 (№ 3407) cosx) + (5x) — (5π/4) + (11) = -5 Задание 14 (№ 3407) sinx + 5 – 0 + 0 = -5 Задание 14 (№ 3407) sinx + 5

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

-5 Задание 14 (№ 3407) sinx + 5 = 0

-5 Задание 14 (№ 3407) sinx = -5

sinx = 5 / 5Задание 14 (№ 3407)

sinx = 1 / Задание 14 (№ 3407)  = Задание 14 (№ 3407) / 2

Получили простое тригонометрическое уравнение, решение которого находится по общей формуле:

sinx = A, A < 1, х = (-1)k · arcsinA + πk, k – любое целое число.

Применяем данную формулу к нашему уравнению. Получаем:

х = (-1)k · arcsin(  / 2) + πk;

х = (-1)k · π/4 + πk, k – любое целое число.

  1. Определим, какое из значений попадает на отрезок [0;π/2]:

х = π/4 (при k = 0) – принадлежит отрезку [0;π/2].

  1. Определим значение исходной функции в стационарной точке х = π/4 и значения функции на концах отрезках, то есть в точках х = 0 и х = π/4.

у(π/4) = 5 Задание 14 (№ 3407) cos(π/4) + 5 · π/4 — 5π/4 + 11 = 5 Задание 14 (№ 3407) · Задание 14 (№ 3407) / 2 + 5π/4 — 5π /4 + 11 = 5 + 11 = 16

у(0) = 5 Задание 14 (№ 3407) cos(0) + 5 · 0 — 5π/4 + 11 = 5 Задание 14 (№ 3407) · 1 + 0 — 5π/4 + 11 = 5 Задание 14 (№ 3407)  — 5π/4 + 11

у(π/2) = 5 Задание 14 (№ 3407) cos(π/2) + 5 · π/2 —  5π/4 + 11 = 5 Задание 14 (№ 3407) · 0 + 5π/2 — 5π/4 + 11 = 5π/4 + 11

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [0;π/2] равно у = 16.

Ответ: 16

 

smartrepetitor.ru
Adblock
detector