Задание 14 (№ 3387)

Найдите наименьшее значение функции y = (х – 17)e^{х — 16} на отрезке [15;17].

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
3. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) ^‘ = f ^‘ (g(x)) ·  g ^‘ (x)

-Производная от простых математических функций: (e^x) ^‘ = e^x ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , где С – постоянное число.

4. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х – 17)e^{х — 16}:

y^‘ = ((х – 17)e^{х – 16})^‘ = (х – 17)^‘ · e^{х – 16} + (х – 17) · (e^{х – 16})^‘ = (х^‘ — 17^‘) · e^{х – 16} + (х – 17) · (e^{х – 16})^‘ · (х – 15)^‘ = (1 – 0) · e^{х – 16} + (х – 17) · e^{х – 16} · (х^‘ — 16^‘) = e^{х – 16} + (х – 17) · e^{х – 16} · (1 – 0) = e^{х – 16}(1 + х – 17) = e^{х – 16}(х – 16)

5. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

e^{х – 16}(х – 16) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х – 16 = 0

х = 16

6. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [15;17]. Поэтому в этой точке будем определять значение функции. Так же будем определять значение функции на концах отрезках, то есть в точках х = 15 и х = 17.

у(16) = (16 – 17)e^{16 – 16} = -1 · 1 = -1

у(15) = (15 – 17)e^{15 – 16} = -2 · e^-1 ≈ -0,74

у(17) = (17 – 17)e^{17– 16} = 0 · e¹ = 0

7. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [15;17] равно у = -1.

Ответ: — 1