Задание
Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 27 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 18 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Решение
- Для решения данной задачи необходимо знать зависимость между расстоянием, скоростью и временем:
S = v*t, где S – расстояние пройденное за время t при скорости v.
Из этой зависимости можно спокойно выразить и время, и скорость.
- Возьмем расстояние между пунктами А и В за единицу, то есть S=1.
- Пусть х (км/ч) – скорость первого автомобиля. Тогда время, за которое прошел путь первый автомобиль, равно:
t1 = 1/x
- Известно, что второй автомобиль вторую половину пути прошел со скоростью на 18 км/ч больше, чем у первого автомобиля, то есть
x+18 (км/ч) – скорость второго автомобиля на второй половине пути.
Первую половину пути второй автомобиль прошел со скоростью 27 км/ч.
- Тогда время, за которое прошел второй автомобиль весь путь, равно:
t2 = 0,5/(x+18)+0,5/27
- Известно, что автомобили выехали и приехали одновременно, то есть t1=t2. Получим уравнение:
1/x = 0,5/(x+18)+0,5/27
Осталось решить данное уравнение (приводим всё к общему знаменателю):
1/x = (0,5·27+0,5·(х+18))/27(х+18)
1/x = (13,5+0,5х+9)/27(х+18)
1/x = (22,5+0,5х)/27(х+18)
1/x-(22,5+0,5х)/27(х+18) = 0
(27(х+18)-х(22,5+0,5х))/27х*(х+18) = 0
Дробь равна 0 только тогда, когда числитель равен 0:
27(х+18)-х(22,5+0,5х) = 0
27х+27·18*22,5х*0,5х2 = 0
-0,5х2+4,5х+486 = 0
х2-9-972 = 0
Решим квадратное уравнение c помощью теоремы Виета или через дискриминант:
х1 = -27
х2 = 36
Известно, что скорость отрицательной быть не может, поэтому 36 км/ч – скорость первого автомобиля.
Ответ: 36
