Задание
Список заданий викторины состоял из 50 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 14 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 207 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Решение
Пусть ученик дал Х — правильных ответов, У — неправильных ответов (У ≥ 1, так как ученик по крайней мере один раз ошибся) , Z раз не дал ответа.
Всего вопросов в викторине — 50, тогда получим следующее 1-ое уравнение: Х+Y+Z = 50.
В результате викторины ученик набрал 207 очков (за правильный ответ получал 9 очков; за неправильный с него списывали 14 очков; при отсутствии ответа давали 0 очков) , поэтому второе уравнение примет следующий вид: 9Х-14Y+0Z=207.
В итоге имеем следующую систему с тремя переменными:
Из второго уравнения: 9Х-14У+0Z = 207 ⇒ 9Х-14Y = 207 ⇒ 9Х — 207 = 14Y ⇒ 9*(Х-23) = 14У ⇒
Мы видим, что левая часть, получившегося уравнения, делится на 9, а это значит, что и правая часть делится на 9, то есть 14У делится на 9. Рассмотрим следующие случаи:
- У = 9, тогда 9*(Х-23) = 14Y = 14*9 ⇒ 9*(Х-23) = 126 ⇒ Х-23 = 14 ⇒ Х = 37 . Тогда 37+9+Z = 50 ⇒ Z = 4
- Y=18, тогда 9*(Х-23) = 14Y = 14*18 ⇒ 9*(Х-23) = 252 ⇒ Х-23 = 28 ⇒ Х=51. Тогда 51+18+Z ≠ 50 ⇒ пришли к противоречию условиям задачи.
Делаем вывод, что ученик дал 37 правильных ответа.
Ответ: 37