Сколь­ко вер­ных от­ве­тов дал ученик, на­брав­ший 84 очка в викторине

Задание

Список за­да­ний вик­то­ри­ны со­сто­ял из 33 вопросов. За каж­дый пра­виль­ный ответ уче­ник по­лу­чал 7 очков, за не­пра­виль­ный ответ с него спи­сы­ва­ли 11 очков, а при от­сут­ствии от­ве­та да­ва­ли 0 очков. Сколь­ко вер­ных от­ве­тов дал ученик, на­брав­ший 84 очка, если известно, что по край­ней мере один раз он ошибся?

Решение

Пусть ученик дал Х — правильных ответов, Y — неправильных ответов (Y≥1, так как ученик по край­ней мере один раз ошибся) , Z раз не дал ответа.

Всего вопросов в викторине — 33, тогда получим следующее 1-ое уравнение:  Х+Y+Z=33.

В результате викторины ученик набрал 84 очка (за правильный ответ получал 7 очков; за неправильный с него списывали 11 очков; при отсутствии ответа давали 0 очков) , поэтому второе уравнение примет следующий вид: 7Х-11Y+0Z=84.

В итоге имеем следующую систему с тремя переменными:

Из второго уравнения: 7Х-11Y+0Z=84 ⇒ 7Х-11Y=84 ⇒ 7Х-84=11Y ⇒ 7(Х-12)=11Y ⇒

Мы видим, что левая часть, получившегося уравнения, делится на 7, а это значит, что и правая часть делится на 7, то есть 11Y делится на 7. Рассмотрим следующие случаи:

1. Y=7, тогда 7(Х-12)=11Y=11·7 ⇒ 7(Х-12)=77 ⇒ Х-12=11 ⇒ Х=23 .  Тогда 23+7+Z=33 ⇒ Z=3
2. Y=14, тогда 7(X-12)=11Y=11·14 ⇒ 7(Х-12)=154 ⇒ Х-12=22 ⇒ Х=34 .  Тогда 36+14+Z≠33 ⇒ пришли к противоречию условиям задачи.

Делаем вывод, что ученик дал 23 правильных ответов.

Ответ: 23