Условие:
Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 84 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Решение:
Пусть ученик дал Х — правильных ответов, У — неправильных ответов (У ≥ 1, так как ученик по крайней мере один раз ошибся) , Z раз не дал ответа.
Всего вопросов в викторине — 33, тогда получим следующее 1-ое уравнение: Х + У + Z = 33.
В результате викторины ученик набрал 84 очка (за правильный ответ получал 7 очков; за неправильный с него списывали 11 очков; при отсутствии ответа давали 0 очков) , поэтому второе уравнение примет следующий вид: 7Х — 11У + 0Z = 84.
В итоге имеем следующую систему с тремя переменными:
Из второго уравнения: 7Х — 11У + 0Z = 84 ⇒ 7Х — 11У = 84 ⇒ 7Х — 84 = 11У ⇒ 7 (Х — 12) = 11У ⇒
Мы видим, что левая часть, получившегося уравнения, делится на 7, а это значит, что и правая часть делится на 7, то есть 11У делится на 7. Рассмотрим следующие случаи:
- У = 7, тогда 7 (Х — 12) = 11У = 11 · 7 ⇒ 7 (Х — 12) = 77 ⇒ Х — 12 = 11 ⇒ Х = 23 . Тогда 23 + 7 + Z = 33 ⇒ Z = 3
- У = 14, тогда 7 (Х — 12) = 11У = 11 · 14 ⇒ 7 (Х — 12) = 154 ⇒ Х — 12 = 22 ⇒ Х = 34 . Тогда 36 + 14 + Z ≠ 33 ⇒ пришли к противоречию условиям задачи.
Делаем вывод, что ученик дал 23 правильных ответов.
Ответ: 23