Список вик­то­ри­ны из 33 вопросов, 7 очков за пра­виль­ный ответ

Задание

Список за­да­ний вик­то­ри­ны со­сто­ял из 33 вопросов. За каж­дый пра­виль­ный ответ уче­ник по­лу­чал 7 очков, за не­пра­виль­ный ответ с него спи­сы­ва­ли 12 очков, а при от­сут­ствии от­ве­та да­ва­ли 0 очков. Сколь­ко вер­ных от­ве­тов дал ученик, на­брав­ший 70 очков, если известно, что по край­ней мере один раз он ошибся?

Решение

Пусть ученик дал Х — правильных ответов, Y — неправильных ответов (Y≥1, так как ученик по край­ней мере один раз ошибся) , Z раз не дал ответа.

Всего вопросов в викторине — 33, тогда получим следующее 1-ое уравнение:  Х+Y+Z = 33.

В результате викторины ученик набрал 70 очков (за правильный ответ получал 7 очков; за неправильный с него списывали 12 очков; при отсутствии ответа давали 0 очков) , поэтому второе уравнение примет следующий вид: 7Х-12Y+0Z = 70.

В итоге имеем следующую систему с тремя переменными:

Из второго уравнения: 7Х-12Y+0Z=70 ⇒ 7Х-12Y=70 ⇒ 7Х-70=12Y ⇒ 7(Х-10)=12Y

Мы видим, что левая часть, получившегося уравнения, делится на 7, а это значит, что и правая часть делится на 7, то есть 12Y делится на 7. Рассмотрим следующие случаи:

1. Y=7, тогда 7*(Х-10)=12Y=12·7  ⇒ 7*(Х-10)=84 ⇒ Х-10=12 ⇒ Х=22 .  Тогда 22+7+Z=33 ⇒ Z=4
2. Y=14, тогда 7*(Х-10)=12Y=12·14  ⇒ 7*(Х-10)=168 ⇒ Х-10=24 ⇒ Х=34 .  Тогда 34+14+Z≠33 ⇒ пришли к противоречию условиям задачи.

Делаем вывод, что ученик дал 22 правильных ответа.

Ответ: 22