Условие:
Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 42 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Решение:
Пусть ученик дал Х — правильных ответов, У — неправильных ответов (У ≥ 1, так как ученик по крайней мере один раз ошибся) , Z раз не дал ответа.
Всего вопросов в викторине — 25, тогда получим следующее 1-ое уравнение: Х + У + Z = 25.
В результате викторины ученик набрал 56 очков (за правильный ответ получал 7 очков; за неправильный с него списывали 9 очков; при отсутствии ответа давали 0 очков) , поэтому второе уравнение примет следующий вид: 7Х — 10У + 0Z = 42.
В итоге имеем следующую систему с тремя переменными:
Из второго уравнения: 7Х — 10У + 0Z = 42 ⇒ 7Х — 10У = 42 ⇒ 7Х — 42 = 10У ⇒ 7 (Х — 6) = 10У ⇒
Мы видим, что левая часть, получившегося уравнения, делится на 7, а это значит, что и правая часть делится на 7, то есть 10У делится на 7. Рассмотрим следующие случаи:
- У = 7, тогда 7 (Х — 6) = 10У = 10 · 7 ⇒ 7 (Х — 6) = 70 ⇒ Х — 6 = 10 ⇒ Х = 16 . Тогда 16 + 7 + Z = 25 ⇒ Z = 2
- У = 14, тогда 7 (Х — 6) = 10У = 10 · 14 ⇒ 7 (Х — 6) = 140 ⇒ Х — 6 = 20 ⇒ Х = 26 . Тогда 26 + 14 + Z ≠ 25 ⇒ пришли к противоречию условиям задачи.
Делаем вывод, что ученик дал 16 правильных ответов.
Ответ: 16
