Сколь­ко вер­ных от­ве­тов дал ученик, на­брав­ший 56 очков из 25 вопросов викторины

Задание

Список за­да­ний вик­то­ри­ны со­сто­ял из 25 вопросов. За каждый пра­виль­ный ответ уче­ник по­лу­чал 7 очков, за не­пра­виль­ный ответ с него спи­сы­ва­ли 9 очков, а при от­сут­ствии от­ве­та да­ва­ли 0 очков. Сколь­ко вер­ных от­ве­тов дал ученик, на­брав­ший 56 очков, если известно, что по край­ней мере один раз он ошибся?

Решение

Пусть ученик дал Х — правильных ответов, Y — неправильных ответов (У≥1, так как ученик по край­ней мере один раз ошибся) , Z раз не дал ответа.

Всего вопросов в викторине — 25, тогда получим следующее 1-ое уравнение:  Х+Y+Z = 25.

В результате викторины ученик набрал 56 очков (за правильный ответ получал 7 очков; за неправильный с него списывали 9 очков; при отсутствии ответа давали 0 очков) , поэтому второе уравнение примет следующий вид: 7Х-9Y+0Z=56.

В итоге имеем следующую систему с тремя переменными:

Из второго уравнения: 7Х-9Y+0Z=56 ⇒ 7Х-9Y=56 ⇒ 7Х-56=9Y ⇒ 7(Х-8)=9Y ⇒

Мы видим, что левая часть, получившегося уравнения, делится на 7, а это значит, что и правая часть делится на 7, то есть 9Y делится на 7. Рассмотрим следующие случаи:

1. Y=7, тогда 7(X-8)=9Y=9·7 ⇒ 7(Х-8)=63 ⇒ Х-8=9 ⇒ Х=17 .  Тогда 17+7+Z=25 ⇒ Z=1
2. Y=14, тогда 7(X-8) = 9Y = 9·14  ⇒ 7(X-8)=126 ⇒ Х-8=18 ⇒ Х=26 . Тогда 26+14+Z≠25 ⇒ пришли к противоречию условиям задачи.

Делаем вывод, что ученик дал 17 правильных ответов.

Ответ: 17