Найдите наибольшее значение функции у=8х^3-21х^2-90х-189

Задание

Найдите наибольшее значение функции у=8х³-21х²-90х-189 на отрезке [- 5; 0,5].

Решение

Найдём производную исходной функции: y'(x) = 24x²+42x−90.

Найдём нули производной из уравнения

y'(x) = 0;
24x²+42x−90 = 0;
4x²+7x−15 = 0,

Отсюда x₁ = −3, x₂ = 5/4.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

На рисунке видно, что функция y = 8x³+21x²−90x−189 возрастает на промежутке [−5; −3] и убывает на промежутке [−3; 0,5]. Значит, на промежутке [−5; 0,5] наибольшее значение достигается при x=−3 и равно y(−3) = 8·(−3)³+21·(−3)²−90·(−3)−189 = −216+189+270−189 = 54.

Ответ: 54.