Задание
Дано трехзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля). Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Решение
Рассмотрим N / (a+b+c)
Попробуем поискать наименьшее трехзначное число с наибольшей суммой цифр. Значит, в нем должно быть мало сотен и много десятков и единиц. Возьмем 198. Сумма его цифр равна 18 и оно нацело делится на нее, в результате чего получаем 11.
Докажем, что 11 — наименьшее натуральное частное от деления числа на сумму его цифр.
Предположим противное. Пусть частное от деления N = (100a + 10b + с) на (a + b + c) равно k, где к <= 10 натуральное число, тогда:
(100a + 10b + с) / (a + b + c) = k
(100 — k)a +(10 — k)b = (k — 1)c
Так как число сотен не может быть равно нулю, то а >= 1. Так как к <= 10, то 100 — k >= 90, следовательно, (100 — k) * a >= 90. Так как b >= 0, то (10 — k) * b >= 0, следовательно, вся левая часть равенства >= 90.
Так как число единиц не может быть больше 9, то есть c <= 9, и (k — 1) <= 9, то (k-1) * c <= 9 * 9 = 81.
Следовательно, в нашем равенстве левая часть >= 90, а правая <= 81. Следовательно, равенство не имеет решений.
Значит, предположение неверно и 11 — наименьшее натуральное значение для частного трехзначного числа и суммы его цифр.
Ответ: 11
