Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное трехзначного числа и суммы его цифр?

Задание

Дано трехзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля). Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Решение

Рассмотрим N / (a+b+c)

Попробуем поискать наименьшее трехзначное число с наибольшей суммой цифр. Значит, в нем должно быть мало сотен и много десятков и единиц. Возьмем 198. Сумма его цифр равна 18 и оно нацело делится на нее, в результате чего получаем 11.

Докажем, что 11 — наименьшее натуральное частное от деления числа на сумму его цифр. 

Предположим противное. Пусть частное от деления N = (100a + 10b + с) на (a + b + c) равно k, где к <= 10 натуральное число, тогда:

(100a + 10b + с) / (a + b + c) = k

(100 — k)a +(10 — k)b = (k — 1)c

Так как число сотен не может быть равно нулю, то а >= 1. Так как к <= 10, то 100 — k >= 90, следовательно, (100 — k) * a >= 90. Так как b >= 0, то (10 — k) * b  >= 0, следовательно, вся левая часть равенства >= 90.

Так как число единиц не может быть больше 9, то есть c <= 9, и (k — 1) <= 9, то (k-1) * c  <= 9 * 9 = 81.

Следовательно, в нашем равенстве левая часть >= 90, а правая <= 81. Следовательно, равенство не имеет решений.

Значит, предположение неверно и 11 — наименьшее натуральное значение для частного трехзначного числа и суммы его цифр.

Ответ: 11

smartrepetitor.ru

Добавить комментарий

Adblock
detector