Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 42 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 28 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Решение
- Для решения данной задачи необходимо знать зависимость между расстоянием, скоростью и временем:
S = v · t, где S – расстояние пройденное за время t при скорости v.
Из этой зависимости можно спокойно выразить и время, и скорость.
- Возьмем расстояние между пунктами А и В за единицу, то есть S = 1.
- Пусть х (км/ч) – скорость первого автомобиля.
- Тогда время, за которое прошел путь первый автомобиль, равно:
t1 = 1 / x
- Известно, что второй автомобиль вторую половину пути прошел со скоростью на 28 км/ч больше, чем у первого автомобиля, то есть
x + 28 (км/ч) – скорость второго автомобиля на второй половине пути.
Первую половину пути второй автомобиль прошел со скоростью 42 км/ч.
- Тогда время, за которое прошел второй автомобиль весь путь, равно:
t2 = 0,5 / (x + 28) + 0,5 / 42
- Известно, что автомобили выехали и приехали одновременно, то есть t1 = t2. Получим уравнение:
1 / x = 0,5 / (х + 28) + 0,5 / 42
Осталось решить данное уравнение (приводим всё к общему знаменателю):
1 / x = (0,5 · 42 + 0,5 · (х + 28)) / 42(х + 28)
1 / x = (21 + 0,5х + 14) / 42(х + 28)
1 / x = (35 + 0,5х) / 42(х + 28)
1 / x — (35 + 0,5х) / 42(х + 28) = 0
(42(х + 28) — х(35 + 0,5х)) / 42х(х + 28) = 0
Дробь равна 0 только тогда, когда числитель равен 0:
42(х + 28) — х(35 + 0,5х) = 0
42х + 42· 28 – 35х – 0,5х2 = 0
-0,5х2 + 7х + 1176 = 0
х2 – 14 — 2352 = 0
Решим квадратное уравнение c помощью теоремы Виета или через дискриминант:
х1 = -42
х2 = 56
Известно, что скорость отрицательной быть не может, поэтому
56 км/ч – скорость первого автомобиля.
Ответ: 56
