Архив метки: подобие

Задача 13 (№ 1759) — В сосуде, имеющем форму конуса

Условие

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 4/5 высоты. Объем сосуда 1950 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллиметрах.

1749

Решение

  1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга:

 V = 1/3 · h · Socн = 1/3 · h · π · (D/2)2.

  1. Для решения данной задачи будем рассматривать объемы двух конусов:

объем конуса, у которого уровень жидкости равен 4/5  высоты – V4/5,

объем конуса, равный объему сосуда – Vсосуд

  1. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания АВ в 5/4 раза, так как высота треугольника АSВ в 5/4 раза больше высоты треугольника А.
  2. АВ и АВ являются диаметрами оснований конусов.
  3. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

Vсосуд = 1/3 · h · π · (D/2)2

  1. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

V4/5= 1/3 · h/(5/4) · π · (D/2/(5/4))2 = (1/3 · h · π · (D/2)2) / (5/4 · 25/16) = Vсосуд / 1,953125

  1. Осталось подставить объем сосуда в полученную формулу и найти объем налитой жидкости:

V4/5 = Vсосуд / 1,953125 = 1950 / 1,953125 = 998,4 мл

Ответ: 998,4 мл

Задача 13 (№ 1760) — В сосуде, имеющем форму конуса

Условие

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объем сосуда 1400 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллиметрах.

1

Решение

  1. Объем конуса, который равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга:

 V = 1/3 · h · Socн = 1/3 · h · π · (D/2)2.

  1. Для решения данной задачи будем рассматривать объемы двух конусов:

объем конуса, у которого уровень жидкости равен 1/2  высоты – V1/2,

объем конуса, равный объему сосуда – Vсосуд

  1. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания АВ в 2 раза, так как высота треугольника АSВ в 2 раза больше высоты треугольника А.
  2. АВ и АВ являются диаметрами оснований конусов.
  3. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

Vсосуд = 1/3 · h · π · (D/2)2

  1. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

V1/2 = 1/3 · h/2 · π · (D/2/2)2 = (1/3 · h · π · (D/2)2) / (2 · 4) = Vсосуд / 8

  1. Осталось подставить объем сосуда в полученную формулу и найти объем налитой жидкости:

V1/2 = Vсосуд / 8 = 1400 / 8 = 175 мл

Ответ:  175 мм

Задача 13 (№ 1751) — В сосуде, имеющем форму конуса

Условие

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объем сосуда 840 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллиметрах.

1

Решение

  1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга:

 V = 1/3 · h · Socн = 1/3 · h · π · (D/2)2.

  1. Для решения данной задачи будем рассматривать объемы двух конусов:

объем конуса, у которого уровень жидкости равен 1/2  высоты – V1/2,

объем конуса, равный объему сосуда – Vсосуд

  1. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания АВ в 2 раза, так как высота треугольника АSВ в 2 раза больше высоты треугольника А.
  2. АВ и АВ являются диаметрами оснований конусов.
  3. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

Vсосуд = 1/3 · h · π · (D/2)2

  1. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

V1/2 = 1/3 · h/2 · π · (D/2/2)2 = (1/3 · h · π · (D/2)2) / (2 · 4) = Vсосуд / 8

  1. Осталось подставить объем сосуда в полученную формулу и найти объем налитой жидкости:

V1/2 = Vсосуд / 8 = 840 / 8 = 105 мл

Ответ: 105 мл

Задача 13 (№ 1708) — В сосуде, имеющем форму конуса

Условие

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/3 высоты. Объем жидкости равен 10 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1706

Решение

  1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга:

V = 1/3 · h · Socн = 1/3 · h · π · (D/2)2.

  1. Для решения данной задачи будем рассматривать объемы двух конусов:

объем конуса, у которого уровень жидкости равен 1/3  высоты – Vмен,

объем конуса, наполненный доверху – Vбол

  1. Нам известно, что высота большего конуса в три раза больше высоты меньшего.
  2. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.
  3. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания АВ в три раза, так как высота треугольника АSВ в три раза больше высоты треугольника А.
  4. АВ и АВ являются диаметрами оснований конусов.
  5. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

Vбол = 1/3 · h · π · (D/2)2

  1. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

Vмен = 1/3 · h/3 · π · (D/2/3)2 = (1/3 · h · π · (D/2)2) / (3 · 9) = Vбол / 27 = 10 мл

  1. Найдем объем заполненного цилиндра, то есть объем большего конуса:

Vбол / 27 = 10 мл

Vбол = 10 · 27 = 270 мл

  1. Осталось вычислить, сколько жидкости необходимо долить, чтобы заполнить сосуд доверху:

Vбол – Vмен = 270 – 10 = 260 мл необходимо долить.

Ответ: 260 мл

Задача 8 (№ 8903) — Человек, рост которого равен 2м, стоит на расстоянии 3,5 м от уличного фонаря

Условие

Человек, рост которого равен 2м, стоит на расстоянии 3,5 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 1м. Определите высоту фонаря (в метрах).

8903 (1)

Решение

  1. Рассмотрим треугольник, который образует человек со своей тенью (синий треугольник) и треугольник, который образуется с помощью фонаря и тени от него (красный треугольник):

2. Данные треугольники подобны по трем углам. Из подобия треугольников следует:

Hфонаря : Hчеловека = (3,5 + 1) : 1

Hфонаря = 4,5 · Hчеловека = 4,5 · 2 = 9 м – высота фонаря.

Ответ: 9

 

 

 

Задача 8 (№ 8819) — На рисунке изображен колодец с «журавлем»

Условие

На рисунке изображен колодец с «журавлем». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо – 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимается на 1,5 м?

колодец с «журавлем»

Решение

1. Для решения данной задачи будем рассматривать два треугольника AFD и BCD:

2. Данные треугольники являются подобными по трем углам. Из подобия следует:

ВD : АD = BC : AF

4 : 2 = BC : AF

ВС : AF = 4 : 2

ВС = 4 : 2 · AF = 2AF

3. Конец короткого плеча подняли на 1,5 м, то есть AF уменьшилась на 1,5 м, получаем:

В1 С1 = 2 (AF – 1,5)

В1 С1 = 2 AF – 2 · 1,5

4. Осталось определить, на сколько опустился конец длинного плеча:

ΔL = ВС — В1 С1 = 2AF – (2 AF – 2 · 1,5) = 2AF  – 2AF  + 2 · 1,5 =  на 3 метра опустится конец длинного плеча.

Ответ: 3

 

 

Задача 8 (№ 1589) — Столб подпирает детскую горку посередине

Условие

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту L этого столба, если высота горки равна 3 м. Ответ дайте в метрах.

Решение

  1. Для нахождения высоты столба рассмотрим треугольники АВС и FBD. FD = L (искомая высота), АС = h.
  2. Данные треугольники являются подобными по трем углам.
  3. Из подобия следует:

ВС/ВD = AC/FD

  1. Нам известно, что столб подпирает горку посередине, то есть ВС/ВD = 2. Тогда получаем

2 = AC/FD

FD = AC/2

FD = 3/2

FD = 1,5

1,5 м – высота столба.

Ответ: 1,5