Архив метки: многогранник

Задача 13 (№ 5567) — От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все его вершины

Условие

От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

пятиугольной призмы

Решение

  1. Правильная пятиугольная призма имеет 15 рёбер.
  2. При отпиливании одной вершины получаем ещё три ребра.

Всего у правильной пятиугольной призмы 10 вершин. А это значит, что при отпиливании 10 вершин, получим ещё 10 ∙ 3 = 30 рёбер.

  1. Итого, получившийся многогранник имеет 15 + 30 = 45 рёбер.

Ответ: 45

 

Задача 13 (№ 5566) — От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все его вершины

Условие

От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

Решение

  1. Правильная пятиугольная призма имеет 7 граней.
  2. При отпиливании одной вершины получаем новую грань.
  3. Всего у правильной пятиугольной призмы 10 вершин. А это значит, что при отпиливании 10 вершин, получим ещё 10 граней.
  4. Итого, получившийся многогранник имеет 7 + 10 = 17 граней.

Ответ: 17

 

Задача 13 (№ 5561) — От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все его вершины

Условие

От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

пятиугольной призмы

Решение

  1. Правильная пятиугольная призма имеет 10 вершин.
  2. При отпиливании вместо одной вершины получаем три.
  3. Итого, получившийся многогранник имеет 10 ∙ 3 = 30 вершин.

Ответ: 30

Задача 13 (№ 5560) — От деревянного кубика отпилили все его вершины

Условие

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

От деревянного кубика

Решение

  1. Получившийся многогранник будет иметь все рёбра куба (их 12) + рёбра, которые получились в вершинах (их количество равно количеству вершин, умноженных на 3, то есть 24).
  2. Итого, получившийся многогранник имеет 12 + 24 = 36 рёбер.

Ответ: 36

 

Задача 13 (№5558) — К правильной треугольной призме со стороной основания 1

Условие

К правильной шестиугольной призме с ребром 1 приклеили правильную шестиугольную пирамиду с ребром 1 так, что грани оснований совпали. Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

с ребром 1, грань, ребро, пирамида, призма

Решение

  1. Ребро – отрезок, соединяющий две вершины многогранника.
  2. Правильная шестиугольная пирамида имеет 12 рёбер.
  3. У правильной шестиугольной призмы – 18 рёбер.
  4. Итого, у правильной треугольной пирамиды и призмы всего 12 + 18 = 30 рёбер.
  5. При приклеивании правильной шестиугольной пирамиды к правильной шестиугольной призме 6 рёбер основания пирамиды и 6 рёбер верхней грани призмы, к которой приклеивается пирамида, объединяются. Поэтому получившийся многогранник имеет 30 – 6 = 24 ребра

Ответ: 24

Задача 13 (№5557) — К правильной шестиугольной призме с ребром 1

Условие

К правильной шестиугольной призме с ребром 1 приклеили правильную шестиугольную пирамиду с ребром 1 так, что грани оснований совпали. Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

Решение

  1. От пирамиды получившийся многогранник будет иметь 6 боковых граней.
  2. От призмы многогранник будет иметь 7 граней (6 боковых и 1 нижнюю).
  3. Итого, у получившегося многогранника 6 + 7 = 13 граней.

Ответ: 13

Задача 13 (№5555) — К правильной треугольной призме со стороной основания 1

Условие

К правильной треугольной призме со стороной основания 1 приклеили правильную треугольную пирамиду с ребром 1 так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

Решение

  1. От пирамиды получившийся многогранник будет иметь 3 боковых грани.
  2. От призмы многогранник будет иметь 4 грани (3 боковых и 1 нижнюю).
  3. Итого, у получившегося многогранника 3 + 4 = 7 граней.

Ответ: 7

Задача 13 (№5554) -К кубу с ребром 1 приклеили правильную четырехугольную пирамиду с ребром 1

Условие

К кубу с ребром 1 приклеили правильную четырехугольную пирамиду с ребром 1 так, что квадратные грани совпали. Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые ребра на  рисунке не изображены)?

куб, с ребром 1, многогранник, грань

Решение

  1. Ребро — отрезок, соединяющий две вершины многогранника.
  2. Правильная четырехугольная пирамида имеет 8 рёбер.
  3. У куба – 12 рёбер.
  4. Итого, у правильной четырехугольной пирамиды и куба всего 12 + 8 = 20 рёбер.
  5. При приклеивании правильной четырехугольной пирамиды к кубу 4 ребра основания пирамиды и 4 ребра грани куба, к которой приклеивается пирамида, объединяются. Поэтому получившийся многогранник имеет 20 – 4 = 16 рёбер.

Ответ: 16

Задача 13 (№ 5470) — Деталь имеет форму изображенного на рисунке многогранника

Условие

Деталь имеет форму изображенного на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины ребер в сантиметрах. Найдите объем этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

5469

Решение

  1. Для решения данной задачи будем использовать формулу нахождения объема для прямоугольного параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его высоты на площадь основания. А площадь основания равна произведению длины на ширину: V = h · Socн = h · a · b.

  1. Разобьём данный многогранник на два прямоугольных параллелепипеда (красной пунктирной линией показано, как можно разбить). Получили большой V1 и маленький V2 параллелепипеды. Найдем их объемы отдельно, а потом сложим, тем самым найдем объем всего многогранника.
  2. V1 = 4 1 · 1 = 4 см3
  3. V2 = 2 4 · 2 = 16 см3
  4. V = V1 + V2 = 4 + 16 = 20 см3 – объем исходного многогранника.

Ответ: 20

Задача 13 (№ 5468) — Деталь имеет форму изображенного на рисунке многогранника

Условие

Деталь имеет форму изображенного на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины ребер в сантиметрах. Найдите объем этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах

5468

Решение

  1. Для решения данной задачи будем использовать формулу нахождения объема для прямоугольного параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его высоты на площадь основания. А площадь основания равна произведению длины на ширину: V = h · Socн = h · a · b.

  1. Разобьём данный многогранник на два прямоугольных параллелепипеда (красной пунктирной линией показано, как можно разбить). Получили большой V1 и маленький V2 параллелепипеды. Найдем их объемы отдельно, а потом сложим, тем самым найдем объем всего многогранника.
  2. V1 = 2 2 · 2 = 8 см3
  3. V2 = 3 3 · 2 = 18 см3
  4. V = V1 + V2 = 8 + 18 = 26 см3 – объем исходного многогранника.

Ответ: 26