Объем конуса равен 120, через середину высоты проведено сечение

Задание

Объем конуса равен 120. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение

1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга: V=1/3*h*S_ocн=1/3*h*π*(D/2)². Нам известно, что высота большего конуса в два раза больше высоты меньшего.
2. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.

Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А^‘SВ^‘. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания А^‘В^‘ в два раза, так высота треугольника АSВ в два раза больше высоты треугольника А^‘SВ^‘.

3. АВ и А^‘В^‘ являются диаметрами оснований конусов. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

V_бол=1/3*h*π*(D/2)²

4. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

V_мен = 1/3*h/2*π*(D/2/2)² = (1/3*h*π*(D/2)²) / (2*4) = V_бол/8 = 120/8 = 15 – объем меньшего конуса.

Ответ: 15