Задание 9 (№ 5023)

Объем конуса равен 168. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

5023

Решение

  1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга: V = 1/3 h · Socн = 1/3 · h · π · (D/2)2.
  2. Нам известно, что высота большего конуса в два раза больше высоты меньшего.
  3. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.
  4. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания АВ в два раза, так высота треугольника АSВ в два раза больше высоты треугольника А.
  5. АВ и АВ являются диаметрами оснований конусов.
  6. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

Vбол = 1/3 · h · π · (D/2)2

  1. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

Vмен = 1/3 · h/2 · π · (D/2/2)2 = (1/3 · h · π · (D/2)2) / (2 · 4) = Vбол / 8 = 168 / 8 = 21 – объем меньшего конуса.

Ответ: 21