Задание 14 (№ 3977)

Найдите наибольшее значение функции y = 3х2 – 13х + 7lnх + 5 на отрезке [13/14;15/14].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них и в точках на концах отрезка наименьшее или наибольшее значение функции, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная от простых математических функций: (lnx) = 1 / х ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, хn = n·  хn-1, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 3х2 – 13х + 7lnх + 5:

y = (3х2 – 13х + 7lnх + 5) = (3х2) — (13х) + (7lnх) + (5) = 6х – 13 + 7/х

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

6х – 13 + 7/х = 0

(6х2 – 13х + 7) / х = 0

Знаменатель у дроби равен нулю быть не может, то есть  х ≠ 0, поэтому

2 – 13х + 7 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Получим:

Х1 = 14/12

Х2 = 1

  1. Получили две стационарные точки. Точка Х1 = 14/12 не лежит в рассматриваемом отрезке [13/14;15/14], поэтому в ней значение функции находить не будем. А будем находить значение функции в точке х = 1 и в точках на концах отрезка, а именно в точках х = 13 / 14 и х = 15 / 14. А затем просто выберем наибольшее.

у(1) = 3·(1)2 – 13·1 + 7ln1 + 5 = -5

у(13/14) = 3·(13/14)2 – 13·13/14 + 7ln(13/14) + 5 ≈ -5,003

у(15/14) = 3 · (15/14)2 – 13·15/14 + 7ln(15/14) + 5 ≈ -5,002

  1. Делаем вывод, что

у = -5 —  наибольшее значение функции на отрезке [13/14;15/14].

Ответ: -5