y=х^2-13х+11lnх+12 найдите наибольшее значение функции

Задание

Найдите наибольшее значение функции y=х²–13х+11lnх+12 на отрезке [13/14;15/14].

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

• Находим производную от данной функции;
• Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
• Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
• Находим значение данной функции в выбранных точках.
• Выбираем среди них и в точках на концах отрезка наименьшее или наибольшее значение функции, это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

• Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f
• Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘
• Производная от простых математических функций: (lnx) ^‘ = 1 / х ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , хⁿ = n·  х^n-1, где С – постоянное число.

3. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = х²–13х+11lnх+12:

y^‘ = (х²–13х+11lnх+12)^‘ = (х²)^‘-(13х)^‘+(11lnх)^‘+(12)^‘ = 2х–13+11/х

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

2х–13+11/х = 0
(2х²–13х+11)/х = 0

Знаменатель у дроби равен нулю быть не может, то есть  х ≠ 0, поэтому

2х² – 13х + 11 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Получим:

x₁ = 5,5
x₂ = 1

4. Получили две стационарные точки. Точка Х₁ = 5,5 не лежит в рассматриваемом отрезке [13/14;15/14], поэтому в ней значение функции находить не будем. А будем находить значение функции в точке х = 1 и в точках на концах отрезка, а именно в точках х = 13/14 и х = 15/14. А затем просто выберем наибольшее.

у(1) = (1)²–13·1+11ln1+12 = 0
у(13/14) = (13/14)²–13·13/14+11ln(13/14)+12 ≈ -0,02
у(15/14) = (15/14)²–13·15/14+11ln(15/14)+12 ≈ -0,02

5. Делаем вывод, что у=0 — наибольшее значение функции на отрезке [13/14;15/14].

Ответ: 0