y=8-ln(х+2)^8 найдите наименьшее значение функции на отрезке [-1,5;0]

Задание

Найдите наименьшее значение функции y=8-ln(х+2)8 на отрезке [-1,5;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:
  • Находим производную от данной функции;
  • Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
  • Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
  • Находим значение данной функции в выбранных точках.
  • Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.
  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:
  • Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f
  • Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g
  • Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)
  • Производная от простых математических функций: (lnХ) = 1 / х ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (х + с)n = n(х + с)n-1, где С – постоянное число.
  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y=(8х-ln(х+2)8 :

y = (8х – ln(х+2)8) = (8х) — (ln(х+2)8) = 8 – (1/(х+2)8 ) ·(х+2)8 = 8 – (1/(х+2)8 ) · 8 · (х+2)7 = 8 – 8/(х + 2)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

8-8/(х+2) = 0
-8/(х+2) = -8
х+2 = -8/-8
х+2 = 1
х = -1

  1. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-1,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.

у(-1) = 8·(-1)-ln(-1+2)8  = -8-ln1 = -8-0 = -16

у = -8 — наименьшее значение функции на отрезке [-1,5;0].

Ответ: -8

Оцените статью
smartrepetitor.ru
Добавить комментарий

Проверка комментариев включена. Прежде чем Ваши комментарии будут опубликованы пройдет какое-то время.