Задание 14 (№ 3859)

Найдите наименьшее значение функции y =8 – ln(х+2)8 на отрезке [-1,5;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (lnХ) = 1 / х ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (х + с)n = n(х + с)n-1, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (8х – ln(х+2)8 :

y = (8х – ln(х+2)8) = (8х) — (ln(х+2)8) = 8 – (1/(х+2)8 ) ·(х+2)8 = 8 – (1/(х+2)8 ) · 8 · (х+2)7 = 8 – 8/(х + 2)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

8 – 8/(х + 2) = 0

– 8/(х + 2) = -8

х + 2 = -8/-8

х + 2 = 1

х = -1

  1. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-1,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.

у(-1) = 8 · (-1) – ln(-1+2)8  = -8 —  ln1 = -8 — 0 = -16

  1. у = -8 — наименьшее значение функции на отрезке [-1,5;0].

Ответ: -8