y=(х+12)*е^х–12 найдите точку максимума функции

Задание

Найдите точку максимума функции y=(х+12)·е^х–12

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

• Находим производную от данной функции;
• Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю, эти точки являются экстремумами (экстремумы – это точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение на выбранном отрезке).
• Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
• Находим значение данной функции в выбранных точках.
• Выбираем среди них наименьшее (минимум) или наибольшее (максимум), это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
3. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

• Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f
• Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘
• Производная сложной функции:  (f(g(x))) ^‘ = f ^‘ (g(x)) ·  g ^‘ (x)
• Производная от простых математических функций: (e^x) ^‘ = e^x ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , где С – постоянное число.

4. С помощью данных формул находим производную исходной функции y=(х+12)e^х–12:

y^‘=((х+12)e^х–12)^‘ = (х+12)^‘·e^х–12+(х+12)·(e^х–12)^‘ = (х^‘+12^‘)·e^х–12+(х+12)·(e^х–12)^‘·(х–12)^‘=(1+0)·e^х–12+(х+12)·e^х–12·(х^‘-12^‘) = e^х–12+(х+12)·e^х–12·(1–0) = e^х–12(1+х+12) = e^х–12(х+13)

5. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

e^х–12(х+13) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х+13 = 0
х = -13

6. Получили одну стационарную точку, то есть одну точку экстремума, которая и является точкой максимума.

Ответ: -13