Задание 14 (№ 3779)

Найдите точку максимума функции y = (х + 12) · е х – 12

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю, эти точки являются экстремумами (экстремумы – это точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение на выбранном отрезке).

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее (минимум) или наибольшее (максимум), это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (ex) = ex ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х + 12)eх – 12:

y = ((х + 12)eх – 12) = (х + 12) · eх – 12 + (х + 12) · (eх – 12) = (х+ 12) · eх – 12 + (х + 12) · (eх – 12) · (х – 12) = (1 + 0) · eх – 12 + (х + 12) · eх – 12 · (х — 12) = eх – 12 + (х + 12) · eх – 12 · (1 – 0) = eх – 12(1 + х + 12) = eх – 12(х + 13)

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

eх – 12(х + 13) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х + 13 = 0

х = -13

  1. Получили одну стационарную точку, то есть одну точку экстремума, которая и является точкой максимума.

Ответ: -13