Задание 13 (№ 5975)

Катер в 11:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 15:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Решение

  1. Для решения данной задачи необходимо знать зависимость между расстоянием, скоростью и временем:

S = v · t, где S – расстояние пройденное за время t при скорости v.

Из этой зависимости можно спокойно выразить и время, и скорость.

  1. Нам известно, что расстояние между пунктами А и В равно 15 км, то есть

S = 15 км

  1. Пусть х (км/ч) – скорость катера, тогда

х + 3 (км/ч) – скорость катера по течению реки;

х — 3 (км/ч) – скорость катера против течения реки.

  1. Время, за которое проплыл катер путь из пункта А в пункт В, равно:

t1 = 15 : (x + 3);

  1. Время, за которое проплыл катер путь из пункта В в пункт А, равно:

t2 = 15 : (x – 3)

  1. Известно, что пробыв в пункте В 1 час 20 минут (4/3 часа), катер отправилась назад и вернулась в пункт А в 15:00 того же дня, то есть

t1 + t2 + 4/3 = 15:00 – 11:00 = 4, тогда получим следующее уравнение:

15 : (x + 3) + 15 : (x — 3) + 4/3 = 4

Осталось решить данное уравнение (приводим всё к общему знаменателю):

15 : (x + 3) + 15 : (x — 3) + 4/3 – 4 = 0

15 : (x + 3) + 15 : (x — 3) – 8/3 = 0

(15 · (х-3) + 15 · (х+3) – 8/3 · (х – 3)(х+3)) : ( (х – 3)(х+3)) = 0

Дробь равна 0 только тогда, когда числитель равен 0:

15 · (х-3) + 15 · (х+ 3) – 8/3 · (х – 3)(х+3) = 0

15х – 45 + 15х + 45 – 8/3х2 + 8/3 · 9 = 0

– 8/3х2 + 30х + 8/3 · 9 = 0

х2 – 11,25х – 9 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

х1 = 12

х2 = -1,5/2

Известно, что скорость отрицательной быть не может, поэтому

12 км/ч – собственная скорость катера.

Ответ: 12