Катер в 10:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 15 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 14:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.
Решение
- Для решения данной задачи необходимо знать зависимость между расстоянием, скоростью и временем:
S = v · t, где S – расстояние пройденное за время t при скорости v.
Из этой зависимости можно спокойно выразить и время, и скорость.
- Нам известно, что расстояние между пунктами А и В равно 15 км, то есть
S = 15 км
- Пусть х (км/ч) – скорость катера, тогда
х + 1 (км/ч) – скорость катера по течению реки;
х — 1 (км/ч) – скорость катера против течения реки.
- Время, за которое проплыл катер путь из пункта А в пункт В, равно:
t1 = 15 : (x + 1);
- Время, за которое проплыл катер путь из пункта В в пункт А, равно:
t2 = 15 : (x – 1)
- Известно, что пробыв в пункте В 1 час 15 минут (1,25 часа), катер отправилась назад и вернулась в пункт А в 14:00 того же дня, то есть
t1 + t2 + 1,25 = 14:00 – 10:00 = 4, тогда получим следующее уравнение:
15 : (x + 1) + 15 : (x — 1) + 1,25 = 4
Осталось решить данное уравнение (приводим всё к общему знаменателю):
15 : (x + 1) + 15 : (x — 1) + 1,25 – 4 = 0
15 : (x + 1) + 15 : (x — 1) – 2,75 = 0
(15 · (х-1) + 15 · (х+1) – 2,75 · (х – 1)(х+1)) : ( (х – 1)(х+1)) = 0
Дробь равна 0 только тогда, когда числитель равен 0:
15 · (х-1) + 15 · (х+ 1) – 2,75 · (х – 1)(х+1) = 0
15х – 15 + 15х + 15 – 2,75х2 + 2,75 = 0
– 2,75х2 + 30х + 2,75 = 0
0,55х2 — 6х – 0,55 = 0
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
х1 = 11
х2 = -0,1/1,1
Известно, что скорость отрицательной быть не может, поэтому
11 км/ч – собственная скорость катера.
Ответ: 11