Архивы категории: Задание 9 (Профильный уровень)

Задание 9 (№ 4973)

В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 7. Боковые ребра призмы равны 2/π. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

4971

Решение

  1. Объем цилиндра равен произведению его высоты на площадь основания. А площадь основания равна площади круга: V = h Socн = h · π · r2.
  2. Высота цилиндра известна, она равна боковому ребру призмы, то есть 2/π.
  3. Осталось найти площадь основания.

В основании лежит квадрат, причем по рисунку видим, что диагональ данного квадрата проходит через центр основания, тем самым являясь диаметром круга, лежащего в основании цилиндра.

Данная диагональ разбивает квадрат на два прямоугольных треугольника. Поэтому найдем диагональ (которая является диаметром) по теореме Пифагора (теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов).:

D2 = 72 + 72 = 49 + 49 = 98

D =  – диаметр основания цилиндра.

  1. Найдем площадь основания:

S = π · (  /2)2 = 24,5π

  1. Осталось найти объем цилиндра:

V = 2/π · 24,5π = 49 – объем цилиндра.

Ответ: 49

Задание 9 (№ 4972)

В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 9. Боковые ребра призмы равны 1/π. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

4971

Решение

  1. Объем цилиндра равен произведению его высоты на площадь основания. А площадь основания равна площади круга: V = h Socн = h · π · r2.
  2. Высота цилиндра известна, она равна боковому ребру призмы, то есть 1/π.
  3. Осталось найти площадь основания.

В основании лежит квадрат, причем по рисунку видим, что диагональ данного квадрата проходит через центр основания, тем самым являясь диаметром круга, лежащего в основании цилиндра.

Данная диагональ разбивает квадрат на два прямоугольных треугольника. Поэтому найдем диагональ (которая является диаметром) по теореме Пифагора (теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов).:

D2 = 92 + 92 = 81 + 81 = 162

D =  – диаметр основания цилиндра.

  1. Найдем площадь основания:

S = π · (  /2)2 = 40,5π

  1. Осталось найти объем цилиндра:

V = 2/π · 40,5π = 81 – объем цилиндра.

Ответ: 81

Задание 9 (№ 4971)

В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра призмы равны 2/π. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

4971

Решение

  1. Объем цилиндра равен произведению его высоты на площадь основания. А площадь основания равна площади круга: V = h Socн = h · π · r2.
  2. Высота цилиндра известна, она равна боковому ребру призмы, то есть 2/π.
  3. Осталось найти площадь основания.

В основании лежит квадрат, причем по рисунку видим, что диагональ данного квадрата проходит через центр основания, тем самым являясь диаметром круга, лежащего в основании цилиндра.

Данная диагональ разбивает квадрат на два прямоугольных треугольника. Поэтому найдем диагональ (которая является диаметром) по теореме Пифагора (теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов).:

D2 = 22 + 22 = 4 + 4 = 8

D =  – диаметр основания цилиндра.

  1. Найдем площадь основания:

S = π · ( /2)2 = 2π

  1. Осталось найти объем цилиндра:

V = 2/π · 2π = 4 – объем цилиндра.

Ответ: 4

Задание 9 (№ 4962)

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 3. Боковые ребра призмы равны 5/π. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

4961

Решение

  1. Объем цилиндра равен произведению его высоты на площадь основания. А площадь основания равна площади круга: V = h Socн = h · π · r2.
  2. Высота цилиндра известна, она равна боковому ребру призмы, то есть 5/π.
  3. Осталось найти площадь основания.

В основании лежит прямоугольный треугольник, причем по рисунку видим, что гипотенуза данного треугольника проходит через центр основания, тем самым являясь диаметром круга, лежащего в основании цилиндра.

Найдем данную гипотенузу (которая является диаметром) по теореме Пифагора (теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

D2 = 92 + 32 = 81 + 9 = 90

D =  – диаметр основания цилиндра.

  1. Найдем площадь основания:

S = π · ( /2)2 = 22,5π

  1. Осталось найти объем цилиндра:

V = 2/π · 22,5π = 45 – объем цилиндра.

Ответ: 45

Задание 9 (№ 4963)

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 1. Боковые ребра призмы равны 2/π. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

4961

Решение

  1. Объем цилиндра равен произведению его высоты на площадь основания. А площадь основания равна площади круга: V = h Socн = h · π · r2.
  2. Высота цилиндра известна, она равна боковому ребру призмы, то есть 2/π.
  3. Осталось найти площадь основания.

В основании лежит прямоугольный треугольник, причем по рисунку видим, что гипотенуза данного треугольника проходит через центр основания, тем самым являясь диаметром круга, лежащего в основании цилиндра.

Найдем данную гипотенузу (которая является диаметром) по теореме Пифагора (теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

D2 = 42 + 12 = 16 + 1 = 17

D =  – диаметр основания цилиндра.

  1. Найдем площадь основания:

S = π · ( /2)2 = 4,25π

  1. Осталось найти объем цилиндра:

V = 2/π · 4,25π = 8,5 – объем цилиндра.

Ответ: 8,5

 

Задание 9 (№ 4961)

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра призмы равны 5/π. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

4961

Решение

  1. Объем цилиндра равен произведению его высоты на площадь основания. А площадь основания равна площади круга: V = h Socн = h · π · r2.
  2. Высота цилиндра известна, она равна боковому ребру призмы, то есть 5/π.
  3. Осталось найти площадь основания.

В основании лежит прямоугольный треугольник, причем по рисунку видим, что гипотенуза данного треугольника проходит через центр основания, тем самым являясь диаметром круга, лежащего в основании цилиндра.

Найдем данную гипотенузу (которая является диаметром) по теореме Пифагора (теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

D2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100

D = 10 – диаметр основания цилиндра.

  1. Найдем площадь основания:

S = π · (10/2)2 = 25π

  1. Осталось найти объем цилиндра:

V = 5/π · 25π = 125 – объем цилиндра.

Ответ: 125

Задание 9 (№ 4949)

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1000 см3 воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 20 см до отметки 22 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

4935

Решение

  1. Объем детали равен поднявшемуся объему жидкости в сосуде.
  2. Данный объем находится через формулу нахождения объема для правильной треугольной призмы, так как имеющийся сосуд имеет именно такую форму.
  3. Объем правильной треугольной призмы равен произведению её высоты на площадь основания, а площадь основания – это площадь треугольника: V = h Socн.
  4. Найдем площадь основания. При объеме воды в 1000 см3 уровень жидкости, по другому высота, составил 25 см, следовательно, площадь основания равна:

Socн = V / h = 1000 / 20 = 50 см2.

  1. Высота поднявшегося объема воды, после погружения детали, известна и равна 22 – 20 = 2 см. Площадь основания нашли. Осталось определить поднявшийся объем жидкости, который равен объему детали:

V = h · Socн = 2 · 50 = 100 см3 – объем детали.

Ответ: 100

Задание 9 (№ 4947)

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1600 см3 воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 28 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

4935

Решение

  1. Объем детали равен поднявшемуся объему жидкости в сосуде.
  2. Данный объем находится через формулу нахождения объема для правильной треугольной призмы, так как имеющийся сосуд имеет именно такую форму.
  3. Объем правильной треугольной призмы равен произведению её высоты на площадь основания, а площадь основания – это площадь треугольника: V = h Socн.
  4. Найдем площадь основания. При объеме воды в 1600 см3 уровень жидкости, по другому высота, составил 25 см, следовательно, площадь основания равна:

Socн = V / h = 1600 / 25 = 64 см2.

  1. Высота поднявшегося объема воды, после погружения детали, известна и равна 28 – 25 = 3 см. Площадь основания нашли. Осталось определить поднявшийся объем жидкости, который равен объему детали:

V = h · Socн = 3 · 64 = 192 см3 – объем детали.

Ответ: 192

 

Задание 9 (№ 4945)

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1200 см3 воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 24 см до отметки 26 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

4935

Решение

  1. Объем детали равен поднявшемуся объему жидкости в сосуде.
  2. Данный объем находится через формулу нахождения объема для правильной треугольной призмы, так как имеющийся сосуд имеет именно такую форму.
  3. Объем правильной треугольной призмы равен произведению её высоты на площадь основания, а площадь основания – это площадь треугольника: V = h Socн.
  4. Найдем площадь основания. При объеме воды в 1200 см3 уровень жидкости, по другому высота, составил 24 см, следовательно, площадь основания равна:

Socн = V / h = 1200 / 24 = 50 см2.

  1. Высота поднявшегося объема воды, после погружения детали, известна и равна 26 – 24 = 2 см. Площадь основания нашли. Осталось определить поднявшийся объем жидкости, который равен объему детали:

V = h · Socн = 2 · 50 = 100 см3 – объем детали.

Ответ: 100

Задание 9 (№ 4943)

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1300 см3 воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 20 см до отметки 23 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

4935

Решение

  1. Объем детали равен поднявшемуся объему жидкости в сосуде.
  2. Данный объем находится через формулу нахождения объема для правильной треугольной призмы, так как имеющийся сосуд имеет именно такую форму.
  3. Объем правильной треугольной призмы равен произведению её высоты на площадь основания, а площадь основания – это площадь треугольника: V = h Socн.
  4. Найдем площадь основания. При объеме воды в 1300 см3 уровень жидкости, по другому высота, составил 20 см, следовательно, площадь основания равна:

Socн = V / h = 1300 / 20 = 65 см2.

  1. Высота поднявшегося объема воды, после погружения детали, известна и равна 23 – 20 = 3 см. Площадь основания нашли. Осталось определить поднявшийся объем жидкости, который равен объему детали:

V = h · Socн = 3 · 65 = 195 см3 – объем детали.

Ответ: 195