Архивы категории: Задание 9 (Профильный уровень)

Задание 9 (№ 5043)

Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

5043

Решение

  1. Объем куба равен длине его ребра в кубе: V = a3.
  2. Найдем длину ребра куба:

a3 = V

a = =  = 2 – длина ребра куба.

  1. Площадь поверхности куба равна произведению площади одной грани на количество граней, то есть на 6: S = Sграни 6. Так как грань представляет собой квадрат, то площадь поверхности куба равна: S = a2 · 6.
  2. Найдем площадь поверхности куба:

S = 22 · 6 = 4 · 6 = 24

Ответ: 24

Задание 9 (№ 5041)

Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

5041

Решение

  1. Грань куба представляет собой квадрат. Поэтому площадь всей поверхности куба равна произведению площади одной грани на количество граней, то есть на 6: S = Sграни 6.
  2. Найдем площадь одной грани:

Sграни  = S / 6 = 18 / 6 = 3 – площадь одной грани.

  1. В свою очередь мы понимаем, что площадь грани равна произведению её ширины на длину. У квадрата ширина равна длине. На основе этого найдем длину ребра куба (длина ребра есть и длина и ширина грани):

Sграни = a2 = 3

a =  – длина ребра куба.

  1. Проведем диагональ (красная линия).
  2. Введем буквенные обозначения для удобства.
  3. Найдем сперва гипотенузу АС из треугольника АСS по теореме Пифагора:

АС2 = АS2 + SС2 = (  )2 + ( )2 = 6

  1. Теперь по теореме Пифагора найдем гипотенузу АВ треугольника АСВ. Данная гипотеза и есть искомая диагональ куба:

АВ2 = АС2 + BС2 = 6 + ( )2 = 6 + 3 = 9

АВ = 3 – диагональ куба.

Ответ: 3

Задание 9 (№ 5037)

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 12. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

5037

Решение

  1. Объем цилиндра равен произведению его высоты на площадь основания. А площадь основания равна площади круга: V = h Socн = h · π · r2.
  2. Запишем в буквенном виде объемы обоих цилиндров:

V1 = h · π · r2 = 12

V2 = 3h · π · (r/2)2 = 3/4 · h · π · r2 = 3/4 · 12 = 9 – объем второго цилиндра.

Ответ: 9

 

Задание 9 (№ 5035)

Объем конуса равен 144. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса

5023

Решение

  1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга: V = 1/3 h · Socн = 1/3 · h · π · (D/2)2.
  2. Нам известно, что высота большего конуса в два раза больше высоты меньшего.
  3. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.
  4. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания АВ в два раза, так высота треугольника АSВ в два раза больше высоты треугольника А.
  5. АВ и АВ являются диаметрами оснований конусов.
  6. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

Vбол = 1/3 · h · π · (D/2)2

  1. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

Vмен = 1/3 · h/2 · π · (D/2/2)2 = (1/3 · h · π · (D/2)2) / (2 · 4) = Vбол / 8 = 144 / 8 = 18 – объем меньшего конуса.

Ответ: 18

Задание 9 (№ 5033)

Объем конуса равен 64. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса

5023

Решение

  1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга: V = 1/3 h · Socн = 1/3 · h · π · (D/2)2.
  2. Нам известно, что высота большего конуса в два раза больше высоты меньшего.
  3. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.
  4. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания АВ в два раза, так высота треугольника АSВ в два раза больше высоты треугольника А.
  5. АВ и АВ являются диаметрами оснований конусов.
  6. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

Vбол = 1/3 · h · π · (D/2)2

  1. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

Vмен = 1/3 · h/2 · π · (D/2/2)2 = (1/3 · h · π · (D/2)2) / (2 · 4) = Vбол / 8 = 64 / 8 = 8 – объем меньшего конуса.

Ответ: 8

Задание 9 (№ 5031)

Объем конуса равен 24. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

5023

Решение

  1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга: V = 1/3 h · Socн = 1/3 · h · π · (D/2)2.
  2. Нам известно, что высота большего конуса в два раза больше высоты меньшего.
  3. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.
  4. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания АВ в два раза, так высота треугольника АSВ в два раза больше высоты треугольника А.
  5. АВ и АВ являются диаметрами оснований конусов.
  6. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

Vбол = 1/3 · h · π · (D/2)2

  1. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

Vмен = 1/3 · h/2 · π · (D/2/2)2 = (1/3 · h · π · (D/2)2) / (2 · 4) = Vбол / 8 = 24 / 8 = 3 – объем меньшего конуса.

Ответ: 3

Задание 9 (№ 5029)

Объем конуса равен 112. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

5023

Решение

  1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга: V = 1/3 h · Socн = 1/3 · h · π · (D/2)2.
  2. Нам известно, что высота большего конуса в два раза больше высоты меньшего.
  3. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.
  4. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания АВ в два раза, так высота треугольника АSВ в два раза больше высоты треугольника А.
  5. АВ и АВ являются диаметрами оснований конусов.
  6. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

Vбол = 1/3 · h · π · (D/2)2

  1. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

Vмен = 1/3 · h/2 · π · (D/2/2)2 = (1/3 · h · π · (D/2)2) / (2 · 4) = Vбол / 8 = 112 / 8 = 14 – объем меньшего конуса.

Ответ: 14

 

Задание 9 (№ 5027)

Объем конуса равен 120. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

5023

Решение

  1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга: V = 1/3 h · Socн = 1/3 · h · π · (D/2)2.
  2. Нам известно, что высота большего конуса в два раза больше высоты меньшего.
  3. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.
  4. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания АВ в два раза, так высота треугольника АSВ в два раза больше высоты треугольника А.
  5. АВ и АВ являются диаметрами оснований конусов.
  6. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

Vбол = 1/3 · h · π · (D/2)2

  1. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

Vмен = 1/3 · h/2 · π · (D/2/2)2 = (1/3 · h · π · (D/2)2) / (2 · 4) = Vбол / 8 = 120 / 8 = 15 – объем меньшего конуса.

Ответ: 15

Задание 9 (№ 5025)

Объем конуса равен 128. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

5023

Решение

  1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга: V = 1/3 h · Socн = 1/3 · h · π · (D/2)2.
  2. Нам известно, что высота большего конуса в два раза больше высоты меньшего.
  3. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.
  4. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания АВ в два раза, так высота треугольника АSВ в два раза больше высоты треугольника А.
  5. АВ и АВ являются диаметрами оснований конусов.
  6. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

Vбол = 1/3 · h · π · (D/2)2

  1. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

Vмен = 1/3 · h/2 · π · (D/2/2)2 = (1/3 · h · π · (D/2)2) / (2 · 4) = Vбол / 8 = 128 / 8 = 16 – объем меньшего конуса.

Ответ: 16

Задание 9 (№ 5023)

Объем конуса равен 168. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

5023

Решение

  1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга: V = 1/3 h · Socн = 1/3 · h · π · (D/2)2.
  2. Нам известно, что высота большего конуса в два раза больше высоты меньшего.
  3. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.
  4. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания АВ в два раза, так высота треугольника АSВ в два раза больше высоты треугольника А.
  5. АВ и АВ являются диаметрами оснований конусов.
  6. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

Vбол = 1/3 · h · π · (D/2)2

  1. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

Vмен = 1/3 · h/2 · π · (D/2/2)2 = (1/3 · h · π · (D/2)2) / (2 · 4) = Vбол / 8 = 168 / 8 = 21 – объем меньшего конуса.

Ответ: 21