Архивы категории: Задание 8 (Профильный уровень)

Задание 8 (№ 6415)

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-6;6). В какой точке отрезка [3;5] функция f(x) принимает наибольшее значение?

6415

Решение

  1. Обратим внимание на то, что на рисунке изображен график производной функции.
  2. Покажем рабочий интервал [3;5] вертикальными зелеными линиями.
  3. На данном интервале производная функции положительна.
  4. Мы знаем, что если производная функции положительна, то функция возрастает.
  5. На основе выше сказанного делаем вывод, что функция на интервале [3;5] возрастает, а это говорит о том, что наибольшее значение на данном интервале принимает в конечной правой точке интервала (функция возрастает слева на право).
  6. Концу интервала соответствует значение 5. Следовательно, в точке 5 функция принимает наибольшее значение на интервале [3;5].

Ответ: 5

Задание 8 (№ 6413)

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-6;6). В какой точке отрезка [-5;-1] функция f(x) принимает наибольшее значение?

6413

Решение

  1. Обратим внимание на то, что на рисунке изображен график производной функции.
  2. Покажем рабочий интервал [-5;-1] вертикальными зелеными линиями.
  3. На данном интервале производная функции отрицательно.
  4. Мы знаем, что если производная функции отрицательна, то функция убывает.
  5. На основе выше сказанного делаем вывод, что функция на интервале [-5;-1] убывает, а это говорит о том, что наибольшее значение на данном интервале принимает в начальной левой точке интервала (функция убывает слева на право).
  6. Началу интервала соответствует значение -5. Следовательно, в точке -5 функция принимает наибольшее значение на интервале [-5;-1].

Ответ: -5

Задание 8 (№ 6411)

На рисунке изображён график y=f'(x) производной функции f(x), определенной на интервале (-9;8). В какой точке отрезка [-5;3] функция f(x) принимает наименьшее значение?

6411

Решение

  1. Обратим внимание на то, что на рисунке изображен график производной функции.
  2. Покажем рабочий интервал [-5;3]вертикальными зелеными линиями.
  3. Мы знаем, что в точках экстремума производная функции равна 0. Получается, что точки экстремума можно спокойно определить по графику производной функции. Покажем данные точки синим цветом.
  4. Экстремумы – это максимальное (максимум) или минимальное (минимум) значения функции.
  5. В задаче необходимо найти минимальное значение функции, то есть минимум. Минимум – это наименьшее значение функции. В точке минимума функция меняется с убывания на возрастание.
  6. У нас дан график производной функции. Мы знаем, если производная функции положительна, то функция возрастает, если производная функции отрицательна – функция убывает.
  7. На основе выше сказанного делаем вывод, что в точке минимума производная меняет свой знак с минуса на плюс. Обведем красным цветом все точки, которые подходят данному условию.
  8. Получили, что в точке -2 функция принимает наименьшее значение.

Ответ: -2

Задание 8 (№ 6409)

На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-9;8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-x+8 или совпадает с ней?

6409

Решение

  1. Обратим внимание на то, что на рисунке изображен график производной функции.
  2. Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной.
  3. Угловой коэффициент прямой – это коэффициент, который стоит перед х, если уравнение прямой записать в виде y = kx + b, то k – угловой коэффициент.
  4. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны.
  5. Из всего выше сказанного, делаем вывод, что нам необходимо посчитать точки, в которых производная функции равна угловому коэффициенту касательной, а именно -1 (угловой коэффициент касательной равен -1).
  6. То есть, мы считаем точки, в которых у = -1, так как значение производной функции смотрим по оси у (данные точки выделены красным)
  7. Получили 2 точки, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = -х + 8.

Ответ: 2

Задание 8 (№ 6407)

На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-9;8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=x-7 или совпадает с ней?

6407

Решение

  1. Обратим внимание на то, что на рисунке изображен график производной функции.
  2. Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной.
  3. Угловой коэффициент прямой – это коэффициент, который стоит перед х, если уравнение прямой записать в виде y = kx + b, то k – угловой коэффициент.
  4. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны.
  5. Из всего выше сказанного, делаем вывод, что нам необходимо посчитать точки, в которых производная функции равна угловому коэффициенту касательной, а именно 1 (угловой коэффициент касательной равен 1).
  6. То есть, мы считаем точки, в которых у = 1, так как значение производной функции смотрим по оси у (данные точки выделены красным)
  7. Получили 4 точки, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = х – 7.

Ответ: 4

Задание 8 (№ 6405)

На рисунке изображён график y=f'(x) производной функции f(x), определенной на интервале (-9;8). В какой точке отрезка [1;7] функция f(x) принимает наименьшее значение?

6405

Решение

  1. Обратим внимание на то, что на рисунке изображен график производной функции.
  2. Покажем рабочий интервал [1;7]вертикальными зелеными линиями.
  3. На данном интервале производная функции положительна.
  4. Мы знаем, что если производная функции положительна, то функция возрастает.
  5. На основе выше сказанного делаем вывод, что функция на интервале [1;7] возрастает, а это говорит о том, что наименьшее значение на данном интервале принимает в начальной (левой) точке интервала (функция возрастает слева на право).
  6. Началу интервала соответствует значение 1. Следовательно, в точке 1 функция принимает наименьшее значение на интервале [1;7].

Ответ: 1

Задание 8 (№ 6403)

На рисунке изображён график y=f'(x) производной функции f(x), определенной на интервале (-9;8). В какой точке отрезка [-8;-4] функция f(x) принимает наименьшее значение?

6403

Решение

  1. Обратим внимание на то, что на рисунке изображен график производной функции.
  2. Покажем рабочий интервал [-8;-4] вертикальными зелеными линиями.
  3. На данном интервале производная функции отрицательно.
  4. Мы знаем, что если производная функции отрицательна, то функция убывает.
  5. На основе выше сказанного делаем вывод, что функция на интервале [-8;-4] убывает, а это говорит о том, что наименьшее значение на данном интервале принимает в конечной правой точке интервала (функция убывает слева на право).
  6. Концу интервала соответствует значение -4. Следовательно, в точке -4 функция принимает наименьшее значение на интервале [-8;-4].

Ответ: -4

Задание 8 (№ 6401)

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-9;8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=10.

6401

Решение

  1. Необходимо понимать, что дан график самой функции y=f(x), а не график производной функции y=f (x).
  2. Раз касательная к графику функции параллельна прямой у = 10, то это говорит о том, что касательная параллельна и оси 0х.
  3. Поэтому мы на графике находим все точки экстремума (точки максимума или минимума) – именно в этих точках касательная будет параллельна оси 0х. Данные точки показаны синим цветом, а касательные – красным.
  4. Получили 6 точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 10.

Ответ: 9

Задание 8 (№ 6399)

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-9;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) положительна.

6399

Решение

  1. Для решения данной задачи необходимо знать, что производная функции положительна на отрезках, на которых функция возрастает, и наоборот, производная функции отрицательна на тех отрезках, где функции убывает.
  2. У нас дан график самой функции, а не её производной, это нужно понимать и не путать.
  3. Определим участки, на которых функция возрастает, и тем самым определим участки, на которых производная функции положительна. Данные участки выделим красными линиями.
  4. Получили 3 отрезка. Теперь посчитаем на этих участках количество целых точек (выделяем синим цветом). Целые точки определяются по оси х, а не у.
  5. Получили 9 точек, в которых производная функции положительна.

Ответ: 9

Задание 8 (№ 6055)

Прямая у = 2х + 5 параллельна касательной к графику функции у =х3 — 4х2 + 6х + 5. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

  1. Для решения данной задачи необходимо знать, что значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
  2. Угловой коэффициент прямой – это коэффициент, стоящий перед х, если уравнение прямой записать в следующем виде: у = kх + b, где k – и есть угловой коэффициент.
  3. В задаче сказано, что прямая у = 2х + 5 параллельна касательной, а это значит что у данной прямой и касательной один и тот же угловой коэффициент, который равен 2 (стоит перед х).

6055

6055-1