Архивы категории: Задание 7 (Профильный уровень)

Задание 7 (№ 4825)

В треугольнике ABC угол C равен 900, sin A = 3/5, АС = 4, СН – высота. Найдите ВН.

4815

Решение

  1. Рассмотрим треугольник АНС. Данный треугольник прямоугольный с прямым углом Н.

В нём известны гипотенуза АС и синус угла А.

  1. Через синус угла А найдем катет НС.

Синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin А = НС / АС

НС = АС · sin А

НС = 4 · (3/5)= 12/5 = 2,4

  1. Рассмотрим треугольник АВС с прямым углом С.

Найдем косинус угла А из основного тригонометрического тождества: sin2A + cos2A = 1

cos 2A = 1 — sin2A = 1 – (3/5)2 = 1 – 9/25 = 16/25

cos А = 4/5

  1. Из определения косинуса найдем гипотенузу АВ.

Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos А = АС / АВ

АВ = АС / cos A

АВ = 4 / (4/5) = 5

  1. С помощью теоремы Пифагора найдем катет ВС.

Теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

АВ2 = ВС2 + АС2

ВС2 = АВ2 — АС2

ВС2 = 52 — 42 = 25 – 16 = 9

ВС = 3

  1. Рассмотрим треугольник ВНС. Данный треугольник прямоугольный с прямым углом Н.

В нем известны гипотенуза ВС и катет НС.

  1. По теореме Пифагора найдем катет ВН:

ВС2 = НС2 + ВН2

ВН2 = ВС2 — НС2

ВН2 = 32 – 2,42 = 9 – 5,76 = 3,24

ВН = 1,8

Ответ: 1,8

Задание 7 (№ 4823)

В треугольнике ABC угол C равен 900, cos A = 4/5, ВС = 3, СН – высота. Найдите АН.

4815

Решение

  1. Рассмотрим треугольник АВС. Данный треугольник прямоугольный с прямым углом С.

В данном треугольнике известны катет ВС и косинус угла А.

  1. Найдем синус угла А из основного тригонометрического тождества  sin2A + cos2A = 1:

sin2A = 1 — cos2A = 1 – (4/5)2 = 1 – 16/25 = 9/25

sinА = 3/5

  1. Из определения синуса угла А найдем гипотенузу АВ.

Синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе

sins А = ВС / АВ

АВ = ВС / sin A

АВ = 3 / (3/5)= 5

  1. На основе теоремы Пифагора найдем катет АС.

Теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузе.

АВ2 = ВС2 + АС2

-АС2 = — АВ2 + ВС2

АС2 = АВ2 — ВС2

АС2 = 52 — 32 = 25 – 9 = 16

АС = 4

  1. Рассмотрим треугольник АНС. Он прямоугольный с прямым углом Н.

В данном треугольнике известны гипотенуза АС и косинус угла А.

  1. Из определения косинуса найдем катет НС.

Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos А = АН / АС

АН = АС · cos A

АН = 4 · 4/5 = 16/5 = 3,2

Ответ: 3,2

Задание 7 (№ 4821)

В треугольнике ABC угол C равен 900, sin A = 3/5, ВС = 3. Найдите высоту СН.

4815

Решение

  1. Рассмотрим треугольник АВС. Данный треугольник прямоугольный с прямым углом С.

В данном треугольнике известны катет ВС и синус угла А.

  1. Из определения синуса угла А найдем гипотенузу АВ.

Синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin А = ВС / АВ

АВ = ВС / sin C

АВ = 3 / (3/5)= 5

  1. По теореме Пифагора найдем катет АС.

Теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузе.

АВ2 = ВС2 + АС2

-АС2 = — АВ2 + ВС2

АС2 = АВ2 — ВС2

АС2 = 52 — 32 = 25 – 9 = 16

АС = 4

  1. Рассмотрим треугольник АНС. Он прямоугольный с прямым углом Н.

В данном треугольнике известны гипотенуза АС и синус угла А.

  1. Из определения синуса найдем катет и высоту НС.

sin А = НС / АС

НС = АС · sin C

НС = 4 · 3/5 = 12/5 = 2,4

Ответ: 2,4

 

Задание 7 (№ 4815)

В треугольнике ABC угол C равен 900, sin A = 3/5, ВС = 3, СН – высота. Найдите ВН.

4815

Решение

  1. Рассмотрим треугольник АВС. Данный треугольник прямоугольный с прямым углом С.

В данном треугольнике известны катет ВС и синус угла А.

  1. Из определения синуса угла А найдем гипотенузу АВ.

Синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin А = ВС / АВ

АВ = ВС / sin А

АВ = 3 / (3/5)= 5

  1. По теореме Пифагора найдем катет АС.

Теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузе.

АВ2 = ВС2 + АС2

-АС2 = — АВ2 + ВС2

АС2 = АВ2 — ВС2

АС2 = 52 — 32 = 25 – 9 = 16

АС = 4

  1. Рассмотрим треугольник АНС. Он прямоугольный с прямым углом Н.

В данном треугольнике известны гипотенуза АС и синус угла А.

  1. Из определения синуса найдем катет НС.

sin А = НС / АС

НС = АС · sin А

НС = 4 · 3/5 = 12/5 = 2,4

  1. Рассмотрим треугольник ВНС. Данный треугольник так же прямоугольный с прямым углом Н.

В нем известны гипотенуза ВС и катет НС.

  1. По теореме Пифагора найдем катет ВН:

ВС2 = НС2 + ВН2

ВН2 = ВС2 — НС2

ВН2 = 32 – 2,42 = 9 – 5,76 = 3,24

ВН = 1,8

Ответ: 1,8

Задание 7 (№ 4809)

В треугольнике ABC AC = BC = 2 , угол C равен 1350. Найдите высоту AH.

4809

Решение

  1. Угол АСН и угол АСВ – смежные, следовательно  в сумме составляют 1800.

Угол АСВ равен 1350, значит угол АСН равен 450.

  1. Рассмотрим треугольник АНС. Данный треугольник прямоугольный с прямым углом Н.

В треугольнике АНС известны гипотенуза АС и угол С.

  1. С помощью синуса угла С найдем катет АН.

Синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin C = АН / АС

АН = АС · sin C

АН = 2  · sin 450 = 2  · (  / 2 ) = 2

Ответ: 2

Задание 7 (№ 4807)

В треугольнике ABC АС = ВС, угол С равен 1200. АВ = 2 . Найдите АC.

4807

Решение

  1. Проведем высоту СН. А так как треугольник АСВ равнобедренный, то СН является и медианой, и биссектрисой, а это значит, что АН = 1 / 2 АВ = 0,5 · 2 = , а угол АСН = 600.
  2. Рассмотрим треугольник АНС. Данный треугольник равнобедренный с прямым углом С.
  3. Найдем АC через синус угла С (синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе):

sin АСН = АН / АC

АС = АН / sin АСН

АC =  ∙ sin 600 =  ∙ (  / 2 ) = 3 / 2 = 1,5

Ответ: 1,5

Задание 7 (№ 4805)

В треугольнике ABC АС = ВС = 2 , угол С равен 450. Найдите высоту АН.

4805

Решение

  1. Рассмотрим треугольник АСН. Данный треугольник прямоугольный с прямым углом Н.
  2. Найдем АН через синус угла С (синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе):

sin С = АН / АC

АН = АC ∙ sin С

АН = 2  ∙ sin 450 = 2  ∙ (  / 2 ) = 2

Ответ: 2

Задание 7 (№ 4803)

В треугольнике ABC АВ = ВС = 6, высота АН = 3. Найдите градусную меру угла С.

4803

Решение

  1. Рассмотрим треугольник АСН. Данный треугольник прямоугольный с прямым углом Н.
  2. В треугольнике АСН сперва определим синус угла С (синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе):

sin С = АН / АC

sin С = 3 /  6 = 1/2

  1. Переведем синус угла в градусы. А мы знаем, что синус угла, равный 1 / 2 – это синус угла в 300

Ответ: 30

Задание 7 (№ 4801)

В треугольнике ABC угол C равен 900, СН – высота, угол А равен 600, АВ = 12.

4801

Решение

  1. Рассмотрим треугольник АВС.
  2. В треугольнике АВС найдем ВС через синус угла А (синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе):

sin A =  ВС / АВ

ВС = АВ ∙ sin A

ВС = 12 ∙ sin 600

ВC = 12 ∙ (  / 2) =6

  1. Рассмотрим треугольник ВНС.

В данном треугольнике угол В равен 300 (угол В = 1800 – угол С – угол А = 1800 — 900 — 600 = 300, так как сумма углов в любом треугольнике равна 1800).

  1. Найдем катет ВН через косинус угла В (косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе):

cos B = ВН / ВС

ВН = ВС ∙ cos B

НС = 6  ∙ cos B 300 = 6 ∙(  / 2) = 9

Ответ: 9

Задание 7 (№ 4587)

В треугольнике ABC угол C равен 900, sin A = 4/5, АС = 9. Найдите АВ.

Решение

  1. Построим для наглядности треугольник АВС:

4583

2. В задаче известен катет, прилежащий к углу А и дан синус этого же угла. Мы знаем, что синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Поэтому сперва найдем косинус угла А, а потом через косинус – гипотенузу АВ.

3. Используя основное соотношение тригонометрических функций одного угла sin2A + cos2A = 1, выразим cos A через sin A:

cos2A = 1 — sin2A

cos2A = 1 – (4/5)2 = 1 – 16/25 = 9/25

cos A = 3/5

4. Теперь через основное определение косинуса найдем гипотенузу АВ:

cos A = АС / АВ

АВ = АС / cos A

АВ = 9 / (3/5) = 15

Ответ: 15