Архивы категории: Задание 14 (Профильный уровень)

Задание 14 (№ 3391)

Найдите наименьшее значение функции y = (х – 10)eх — 9 на отрезке [8;10].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (ex) = ex ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х – 10)eх — 9:

y = ((х – 10)eх – 9) = (х – 10) · eх – 9 + (х – 10) · (eх – 9) = (х — 10) · eх – 9 + (х – 10) · (eх – 9) · (х – 9) = (1 – 0) · eх – 9 + (х – 10) · eх – 9 · (х — 9) = eх – 9 + (х – 10) · eх – 9 · (1 – 0) = eх – 9(1 + х – 10) = eх – 9(х – 9)

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

eх – 9(х – 9) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х – 9 = 0

х = 9

  1. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [8;10]. Поэтому в этой точке будем определять значение функции. Так же будем определять значение функции на концах отрезках, то есть в точках х = 8 и х = 10.

у(9) = (9 – 10)e9 – 9 = -1 · 1 = -1

у(8) = (8 – 10)e8 – 9 = -2 · e-1 ≈ -0,74

у(10) = (10 – 10)e10– 9 = 0 · e1 = 0

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [8;10] равно у = -1.

Ответ: — 1

 

Задание 14 (№ 3389)

Найдите наименьшее значение функции y = (х – 13)eх — 12 на отрезке [11;13].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (ex) = ex ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х – 13)eх — 12:

y = ((х – 13)eх – 12) = (х – 13) · eх – 12 + (х – 13) · (eх – 12) = (х — 13) · eх – 12 + (х – 13) · (eх – 12) · (х – 12) = (1 – 0) · eх – 12 + (х – 13) · eх – 12 · (х — 12) = eх – 12 + (х – 13) · eх – 12 · (1 – 0) = eх – 12(1 + х – 13) = eх – 12(х – 12)

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

eх – 12(х – 12) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х – 12 = 0

х = 12

  1. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [11;13]. Поэтому в этой точке будем определять значение функции. Так же будем определять значение функции на концах отрезках, то есть в точках х = 11 и х = 13.

у(12) = (12 – 13)e12 – 12 = -1 · 1 = -1

у(11) = (11 – 13)e11 – 12 = -2 · e-1 ≈ -0,74

у(13) = (13 – 13)e13– 11 = 0 · e1 = 0

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [11;13] равно у = -1.

Ответ: — 1

Задание 14 (№ 3387)

Найдите наименьшее значение функции y = (х – 17)eх — 16 на отрезке [15;17].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (ex) = ex ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х – 17)eх — 16:

y = ((х – 17)eх – 16) = (х – 17) · eх – 16 + (х – 17) · (eх – 16) = (х — 17) · eх – 16 + (х – 17) · (eх – 16) · (х – 15) = (1 – 0) · eх – 16 + (х – 17) · eх – 16 · (х — 16) = eх – 16 + (х – 17) · eх – 16 · (1 – 0) = eх – 16(1 + х – 17) = eх – 16(х – 16)

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

eх – 16(х – 16) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х – 16 = 0

х = 16

  1. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [15;17]. Поэтому в этой точке будем определять значение функции. Так же будем определять значение функции на концах отрезках, то есть в точках х = 15 и х = 17.

у(16) = (16 – 17)e16 – 16 = -1 · 1 = -1

у(15) = (15 – 17)e15 – 16 = -2 · e-1 ≈ -0,74

у(17) = (17 – 17)e17– 16 = 0 · e1 = 0

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [15;17] равно у = -1.

Ответ: — 1

Задание 14 (№ 3385)

Найдите наименьшее значение функции y = (х – 6)eх — 5 на отрезке [4;6].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (ex) = ex ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х – 6)eх — 5:

y = ((х – 6)eх – 5) = (х – 6) · eх – 5 + (х – 6) · (eх – 5) = (х — 6) · eх – 5 + (х – 6) · (eх – 5) · (х – 5) = (1 – 0) · eх – 5 + (х – 6) · eх – 5 · (х — 5) = eх – 5 + (х – 6) · eх – 5 · (1 – 0) = eх – 5(1 + х – 6) = eх – 5(х – 5)

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

eх – 5(х – 5) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х – 5 = 0

х = 5

  1. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [4;6]. Поэтому в этой точке будем определять значение функции. Так же будем определять значение функции на концах отрезках, то есть в точках х = 4 и х = 6.

у(5) = (5 – 6)e5 – 5 = -1 · 1 = -1

у(4) = (4 – 6)e4 – 5 = -2 · e-1 ≈ -0,74

у(6) = (6 – 6)e6– 5 = 0 · e1 = 0

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [4;6] равно у = -1.

Ответ: — 1

Задание 14 (№ 3383)

Найдите наименьшее значение функции y = (х – 8)eх — 7 на отрезке [6;8].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (ex) = ex ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х – 8)eх – 7:

y = ((х – 8)eх – 7) = (х – 8) · eх – 7 + (х – 8) · (eх – 7) = (х — 8) · eх – 7 + (х – 8) · (eх – 7) · (х – 7) = (1 – 0) · eх – 7 + (х – 8) · eх – 7 · (х — 7) = eх – 7 + (х – 8) · eх – 7 · (1 – 0) = eх – 7(1 + х – 8) = eх – 7(х – 7)

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

eх – 7(х – 7) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х – 7 = 0

х = 7

  1. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [6;8]. Поэтому в этой точке будем определять значение функции. Так же будем определять значение функции на концах отрезках, то есть в точках х = 6 и х = 8.

у(7) = (7 – 8)e7 – 7 = -1 · 1 = -1

у(6) = (6 – 8)e6 – 7 = -2 · e-1 ≈ -0,74

у(8) = (8 – 8)e8– 7 = 0 · e1 = 0

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [6;8] равно у = -1.

Ответ: — 1