Архивы категории: Задание 14 (Профильный уровень)

Задание 14 (№ 3777)

Найдите точку максимума функции y = (х + 13) · е х – 13

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю, эти точки являются экстремумами (экстремумы – это точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение на выбранном отрезке).

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее (минимум) или наибольшее (максимум), это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (ex) = ex ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х + 13)eх – 13:

y = ((х + 13)eх – 13) = (х + 13) · eх – 13 + (х + 13) · (eх – 13) = (х+ 13) · eх – 13 + (х + 13) · (eх – 13) · (х – 13) = (1 + 0) · eх – 13 + (х + 13) · eх – 13 · (х — 13) = eх – 13 + (х + 13) · eх – 13 · (1 – 0) = eх – 13(1 + х + 13) = eх – 13(х + 14)

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

eх – 13(х + 14) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х + 14 = 0

х = -14

  1. Получили одну стационарную точку, то есть одну точку экстремума, которая и является точкой максимума.

Ответ: -14

Задание 14 (№ 3775)

Найдите точку максимума функции y = (х + 18) · е х – 18

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю, эти точки являются экстремумами (экстремумы – это точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение на выбранном отрезке).

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее (минимум) или наибольшее (максимум), это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (ex) = ex ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х + 18)eх – 18:

y = ((х + 18)eх – 18) = (х + 18) · eх – 18 + (х + 18) · (eх – 18) = (х+ 18) · eх – 18 + (х + 18) · (eх – 18) · (х – 18) = (1 + 0) · eх – 18 + (х + 18) · eх – 18 · (х — 18) = eх – 18 + (х + 18) · eх – 18 · (1 – 0) = eх – 18(1 + х + 18) = eх – 18(х + 19)

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

eх – 18(х + 19) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х + 19 = 0

х = -19

  1. Получили одну стационарную точку, то есть одну точку экстремума, которая и является точкой максимума.

Ответ: -19

Задание 14 (№ 3773)

Найдите точку максимума функции y = (х + 16) · е х — 16

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю, эти точки являются экстремумами (экстремумы – это точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение на выбранном отрезке).

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее (минимум) или наибольшее (максимум), это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (ex) = ex ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х + 16)eх – 16:

y = ((х + 16)eх – 16) = (х + 16) · eх – 16 + (х + 16) · (eх – 16) = (х+ 16) · eх – 16 + (х + 16) · (eх – 16) · (х – 16) = (1 + 0) · eх – 16 + (х + 16) · eх – 16 · (х — 16) = eх – 16 + (х + 16) · eх – 16 · (1 – 0) = eх – 16(1 + х + 16) = eх – 16(х + 17)

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

eх – 16(х + 17) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х + 17 = 0

х = -17

  1. Получили одну стационарную точку, то есть одну точку экстремума, которая и является точкой максимума.

Ответ: -17

 

Задание 14 (№ 3601)

Найдите наибольшее значение функции y = 7tgх – 7х + 6 на отрезке [-π/4;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная от простых математических функций: С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (tgx) = 1 /  cos2 x,  где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 7tgх – 7х + 6:

y = (7tgх – 7х + 6) = (7tgх) — (7х) + (6) = 7 / cos2 x – 7 + 0 = 1 / cos2 x – 1

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

1 / cos2 x – 1 = 0

1 / cos2 x =  1

cos2 x = 1

cos x = ± 1

1)Если cos x =  1, то х = 2πk, k – любое целое число.

2)Если cos x =  — 1, то х = π + 2πk, k – любое целое число.

Определим, какие значения х попадают в отрезке [-π/4;0]. Это

х = 0, при k = 0 (для первого варианта) – стационарная точка.

  1. Теперь определим значение исходной функции в стационарной точке и на концах отрезках, то есть в точках х = -π/4 и х = 0.

у(-π/4) = 7tg(-π/4) – 7 · (-π/4) + 6 = 7 · (-1) + 1,75π  + 4 = -3 + 1,75π

у(0) = 7tg0 – 7 · 0 + 6 = 7 · 0 – 0  + 6 =6

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [-π/4;0] равно у = 6.

Ответ: 6

 

Задание 14 (№ 3599)

Найдите наибольшее значение функции y = 8tgх – 8х + 5 на отрезке [-π/4;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная от простых математических функций: С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (tgx) = 1 /  cos2 x,  где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 8tgх – 8х + 5:

y = (8tgх – 8х + 5) = (8tgх) — (8х) + (5) = 8 / cos2 x – 8 + 0 = 1 / cos2 x – 1

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

1 / cos2 x – 1 = 0

1 / cos2 x =  1

cos2 x = 1

cos x = ± 1

1)Если cos x =  1, то х = 2πk, k – любое целое число.

2)Если cos x =  — 1, то х = π + 2πk, k – любое целое число.

Определим, какие значения х попадают в отрезке [-π/4;0]. Это

х = 0, при k = 0 (для первого варианта) – стационарная точка.

  1. Теперь определим значение исходной функции в стационарной точке и на концах отрезках, то есть в точках х = -π/4 и х = 0.

у(-π/4) = 8tg(-π/4) – 8 · (-π/4) + 5 = 8 · (-1) + 2π  + 5 = -3 + 2π

у(0) = 8tg0 – 8 · 0 + 2 = 8 · 0 – 0  + 5 = 5

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [-π/4;0] равно у = 5.

Ответ: 5

 

Задание 14 (№ 3597)

Найдите наибольшее значение функции y = 5tgх – 5х + 4 на отрезке [-π/4;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная от простых математических функций: С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (tgx) = 1 /  cos2 x,  где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 5tgх – 5х + 4:

y = (5tgх – 5х + 4) = (5tgх) — (5х) + (4) = 5 / cos2 x – 5 + 0 = 1 / cos2 x – 1

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

1 / cos2 x – 1 = 0

1 / cos2 x =  1

cos2 x = 1

cos x = ± 1

1)Если cos x =  1, то х = 2πk, k – любое целое число.

2)Если cos x =  — 1, то х = π + 2πk, k – любое целое число.

Определим, какие значения х попадают в отрезке [-π/4;0]. Это

х = 0, при k = 0 (для первого варианта) – стационарная точка.

  1. Теперь определим значение исходной функции в стационарной точке и на концах отрезках, то есть в точках х = -π/4 и х = 0.

у(-π/4) = 5tg(-π/4) – 5 · (-π/4) + 4 = 5 · (-1) + 1,25π  + 4 = -1 + 1,25π

у(0) = 5tg0 – 5 · 0 + 4 = 5 · 0 – 0  + 4 = 4

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [-π/4;0] равно у = 4.

Ответ: 4

Задание 14 (№ 3595)

Найдите наибольшее значение функции y = 9tgх – 9х + 8 на отрезке [-π/4;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная от простых математических функций: С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (tgx) = 1 /  cos2 x,  где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 9tgх – 9х + 8:

y = (9tgх – 9х + 8) = (9tgх) — (9х) + (8) = 9 / cos2 x – 9 + 0 = 1 / cos2 x – 1

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

1 / cos2 x – 1 = 0

1 / cos2 x =  1

cos2 x = 1

cos x = ± 1

1)Если cos x =  1, то х = 2πk, k – любое целое число.

2)Если cos x =  — 1, то х = π + 2πk, k – любое целое число.

Определим, какие значения х попадают в отрезке [-π/4;0]. Это

х = 0, при k = 0 (для первого варианта) – стационарная точка.

  1. Теперь определим значение исходной функции в стационарной точке и на концах отрезках, то есть в точках х = -π/4 и х = 0.

у(-π/4) = 9tg(-π/4) – 9 · (-π/4) + 8 = 9 · (-1) + 2,5π  + 8 = -1 + 2,5π

у(0) = 9tg0 – 9 · 0 + 8 = 9 · 0 – 0  + 8 = 8

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [-π/4;0] равно у = 8.

Ответ: 8

Задание 14 (№ 3593)

Найдите наибольшее значение функции y = 2tgх – 2х + 5 на отрезке [-π/4;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная от простых математических функций: С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (tgx) = 1 /  cos2 x,  где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 2tgх – 2х + 5:

y = (2tgх – 2х + 5) = (2tgх) — (2х) + (5) = 2 / cos2 x – 2 + 0 = 1 / cos2 x – 1

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

1 / cos2 x – 1 = 0

1 / cos2 x =  1

cos2 x = 1

cos x = ± 1

1)Если cos x =  1, то х = 2πk, k – любое целое число.

2)Если cos x =  — 1, то х = π + 2πk, k – любое целое число.

Определим, какие значения х попадают в отрезке [-π/4;0]. Это

х = 0, при k = 0 (для первого варианта) – стационарная точка.

  1. Теперь определим значение исходной функции в стационарной точке и на концах отрезках, то есть в точках х = -π/4 и х = 0.

у(-π/4) = 2tg(-π/4) – 2 · (-π/4) + 5 = 2 · (-1) + π / 2 + 5 = 3 + π / 2

у(0) = 2tg0 – 2 · 0 + 5 = 2 · 0 – 0  + 5 = 5

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [-π/4;0] равно у = 5.

Ответ: 5

Задание 14 (№ 3469)

Найдите наибольшее значение функции y = 16х — 6 sin x + 4 на отрезке [-π/2;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная от простых математических функций: С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (sinx) = cosx,  где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 16х — 6 sin x + 4:

y = (16х — 6 sin x + 4) = (16х) — (6 sin x) + (4) = 16 – 6 cosx + 4 = 16 – 6 cosx

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

16 – 6 cosx = 0

-6 cosx = -16

cosx = 16 / 6

Данное уравнение решений не имеет, так как косинус быть больше 1 не может.

Следовательно, стационарных точек нет.

  1. Значит, определим значение исходной функции на концах отрезках, то есть в точках х = -π/2 и х = 0.

у(-π/2) = 16 · (-π/2) — 6 sin( -π/2) + 4 = -8π – 6 · (-1) + 4 = -4π +10

у(0) = 16 · 0 — 6 sin 0 + 4 = 0 – 0  + 4 = 4

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [-π/2;0] равно у = 4.

Ответ: 4

 

Задание 14 (№ 3467)

Найдите наибольшее значение функции y = 8х — 7 sin x + 7 на отрезке [-π/2;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная от простых математических функций: С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (sinx) = cosx,  где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 8х — 7 sin x + 7:

y = (8х — 7 sin x + 7) = (8х) — (7 sin x) + (7) = 8 – 7 cosx + 0 = 8 – 7 cosx

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

8 – 7 cosx = 0

-7 cosx = -8

cosx = 8 / 7

Данное уравнение решений не имеет, так как косинус быть больше 1 не может.

Следовательно, стационарных точек нет.

  1. Значит, определим значение исходной функции на концах отрезках, то есть в точках х = -π/2 и х = 0.

у(-π/2) = 8 · (-π/2) — 7 sin( -π/2) + 7 = -4π – 7 · (-1) + 7 = -4π + 14

у(0) = 8 · 0 — 7 sin 0 + 7 = 0 – 0  + 7 = 7

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [-π/2;0] равно у = 7.

Ответ: 7