Архивы категории: Задание 13 (Профильный уровень)

Задание 13 (№ 5615)

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение

  1. Для решения данной задачи необходимо знать зависимость между расстоянием, скоростью и временем:

S = v · t, где S – расстояние пройденное за время t при скорости v.

Из этой зависимости можно спокойно выразить и время, и скорость.

  1. Возьмем расстояние между пунктами А и В за единицу, то есть S = 1.
  2. Пусть х (км/ч) – скорость первого автомобиля.
  3. Тогда время, за которое прошел путь первый автомобиль, равно:

t1 = 1 / x

  1. Известно, что второй автомобиль первую половину пути прошел со скоростью на 13 км/ч меньшей, чем у первого автомобиля, то есть

x — 13 (км/ч) – скорость второго автомобиля на первой половине пути.

Вторую половину пути второй автомобиль прошел со скоростью 78 км/ч.

  1. Тогда время, за которое прошел второй автомобиль весь путь, равно:

t2 = 0,5 / (x — 13) + 0,5 / 78

  1. Известно, что автомобили выехали и приехали одновременно, то есть t1 = t2. Получим уравнение:

1 / x = 0,5 / (х — 13) + 0,5 / 78

Осталось решить данное уравнение (приводим всё к общему знаменателю):

1 / x = (0,5 · 78 + 0,5 · (х — 13)) / 78(х — 13)

1 / x = (39 + 0,5х — 6,5) / 78(х — 13)

1 / x = (32,5 + 0,5х) / 78(х — 13)

1 / x — (32,5 + 0,5х) / 78(х — 13) = 0

(78(х — 13) — х(32,5 + 0,5х)) / 78х(х — 13) = 0

Дробь равна 0 только тогда, когда числитель равен 0:

78(х — 13) — х(32,5 + 0,5х)= 0

78х — 13· 78 – 32,5х – 0,5х2 = 0

-0,5х2 + 45,5х — 1014 = 0

х2 – 91 + 2028 = 0

Решим квадратное уравнение c помощью теоремы Виета:

х1 = 52

х2 = 39

Известно, что скорость первого автомобиля больше 48 км/ч, поэтому

52 км/ч – скорость первого автомобиля.

Ответ: 52