Архивы категории: Задание 13 (Профильный уровень)

Задание 13 (№ 5975)

Катер в 11:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 15:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Решение

  1. Для решения данной задачи необходимо знать зависимость между расстоянием, скоростью и временем:

S = v · t, где S – расстояние пройденное за время t при скорости v.

Из этой зависимости можно спокойно выразить и время, и скорость.

  1. Нам известно, что расстояние между пунктами А и В равно 15 км, то есть

S = 15 км

  1. Пусть х (км/ч) – скорость катера, тогда

х + 3 (км/ч) – скорость катера по течению реки;

х — 3 (км/ч) – скорость катера против течения реки.

  1. Время, за которое проплыл катер путь из пункта А в пункт В, равно:

t1 = 15 : (x + 3);

  1. Время, за которое проплыл катер путь из пункта В в пункт А, равно:

t2 = 15 : (x – 3)

  1. Известно, что пробыв в пункте В 1 час 20 минут (4/3 часа), катер отправилась назад и вернулась в пункт А в 15:00 того же дня, то есть

t1 + t2 + 4/3 = 15:00 – 11:00 = 4, тогда получим следующее уравнение:

15 : (x + 3) + 15 : (x — 3) + 4/3 = 4

Осталось решить данное уравнение (приводим всё к общему знаменателю):

15 : (x + 3) + 15 : (x — 3) + 4/3 – 4 = 0

15 : (x + 3) + 15 : (x — 3) – 8/3 = 0

(15 · (х-3) + 15 · (х+3) – 8/3 · (х – 3)(х+3)) : ( (х – 3)(х+3)) = 0

Дробь равна 0 только тогда, когда числитель равен 0:

15 · (х-3) + 15 · (х+ 3) – 8/3 · (х – 3)(х+3) = 0

15х – 45 + 15х + 45 – 8/3х2 + 8/3 · 9 = 0

– 8/3х2 + 30х + 8/3 · 9 = 0

х2 – 11,25х – 9 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

х1 = 12

х2 = -1,5/2

Известно, что скорость отрицательной быть не может, поэтому

12 км/ч – собственная скорость катера.

Ответ: 12

Задание 13 (№ 5973)

Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 45  минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Решение

  1. Для решения данной задачи необходимо знать зависимость между расстоянием, скоростью и временем:

S = v · t, где S – расстояние пройденное за время t при скорости v.

Из этой зависимости можно спокойно выразить и время, и скорость.

  1. Нам известно, что расстояние между пунктами А и В равно 15 км, то есть

S = 15 км

  1. Пусть х (км/ч) – скорость байдарки, тогда

х + 3 (км/ч) – скорость байдарки по течению реки;

х — 3 (км/ч) – скорость байдарки против течения реки.

  1. Время, за которое проплыла байдарка путь из пункта А в пункт В, равно:

t1 = 15 : (x + 3);

  1. Время, за которое проплыла байдарка путь из пункта В в пункт А, равно:

t2 = 15 : (x – 3)

  1. Известно, что пробыв в пункте В 45 минут (0,75 часа), байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00 того же дня, то есть

t1 + t2 + 0,75 = 16:00 – 10:00 = 6, тогда получим следующее уравнение:

15 : (x + 3) + 15 : (x — 3) + 0,75 = 6

Осталось решить данное уравнение (приводим всё к общему знаменателю):

15 : (x + 3) + 15 : (x — 3) + 0,75 – 6 = 0

15 : (x + 3) + 15 : (x — 3) – 5,25 = 0

(15 · (х — 3) + 15 · (х+3)  – 5,25 · (х – 3)(х+3)) : ( (х – 3)(х + 3)) = 0

Дробь равна 0 только тогда, когда числитель равен 0:

15 · (х — 3) + 15 · (х + 3) – 5,25 · (х – 3)(х+3) = 0

15х – 90 + 45х + 90 – 14х2 + 56 = 0

– 14х2 + 90х + 56 = 0

2 — 45х – 28 = 0

Решим квадратное уравнение c помощью дискриминанта:

х1 = 7

х2 = -8/14

Известно, что скорость отрицательной быть не может, поэтому

7 км/ч – собственная скорость байдарки.

Ответ: 7

Задание 13 (№ 5971)

Катер в 10:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 15 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 14:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

Решение

  1. Для решения данной задачи необходимо знать зависимость между расстоянием, скоростью и временем:

S = v · t, где S – расстояние пройденное за время t при скорости v.

Из этой зависимости можно спокойно выразить и время, и скорость.

  1. Нам известно, что расстояние между пунктами А и В равно 15 км, то есть

S = 15 км

  1. Пусть х (км/ч) – скорость катера, тогда

х + 1 (км/ч) – скорость катера по течению реки;

х — 1 (км/ч) – скорость катера против течения реки.

  1. Время, за которое проплыл катер путь из пункта А в пункт В, равно:

t1 = 15 : (x + 1);

  1. Время, за которое проплыл катер путь из пункта В в пункт А, равно:

t2 = 15 : (x – 1)

  1. Известно, что пробыв в пункте В 1 час 15 минут (1,25 часа), катер отправилась назад и вернулась в пункт А в 14:00 того же дня, то есть

t1 + t2 + 1,25 = 14:00 – 10:00 = 4, тогда получим следующее уравнение:

15 : (x + 1) + 15 : (x — 1) + 1,25 = 4

Осталось решить данное уравнение (приводим всё к общему знаменателю):

15 : (x + 1) + 15 : (x — 1) + 1,25 – 4 = 0

15 : (x + 1) + 15 : (x — 1) – 2,75 = 0

(15 · (х-1) + 15 · (х+1) – 2,75 · (х – 1)(х+1)) : ( (х – 1)(х+1)) = 0

Дробь равна 0 только тогда, когда числитель равен 0:

15 · (х-1) + 15 · (х+ 1) – 2,75 · (х – 1)(х+1) = 0

15х – 15 + 15х + 15 – 2,75х2 + 2,75 = 0

– 2,75х2 + 30х + 2,75 = 0

0,55х2 — 6х – 0,55 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

х1 = 11

х2 = -0,1/1,1

Известно, что скорость отрицательной быть не может, поэтому

11 км/ч – собственная скорость катера.

Ответ: 11

Задание 13 (№ 5969)

Лодка в 9:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 19:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

Решение

  1. Для решения данной задачи необходимо знать зависимость между расстоянием, скоростью и временем:

S = v · t, где S – расстояние пройденное за время t при скорости v.

Из этой зависимости можно спокойно выразить и время, и скорость.

  1. Нам известно, что расстояние между пунктами А и В равно 15 км, то есть

S = 15 км

  1. Пусть х (км/ч) – скорость лодки, тогда

х + 1 (км/ч) – скорость лодки по течению реки;

х — 1 (км/ч) – скорость лодки против течения реки.

  1. Время, за которое проплыла лодка путь из пункта А в пункт В, равно:

t1 = 15 : (x + 1);

  1. Время, за которое проплыла лодка путь из пункта В в пункт А, равно:

t2 = 15 : (x – 1)

  1. Известно, что пробыв в пункте В 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 19:00 того же дня, то есть

t1 + t2 + 2 = 19:00 – 9:00 = 10, тогда получим следующее уравнение:

15 : (x + 1) + 15 : (x — 1) + 2 = 10

Осталось решить данное уравнение (приводим всё к общему знаменателю):

15 : (x + 1) + 15 : (x — 1) + 2 – 10 = 0

15 : (x + 1) + 15 : (x — 1) — 8 = 0

(15 · (х-1) + 15 · (х+1) – 8 · (х – 1)(х+1)) : ( (х – 1)(х+1)) = 0

Дробь равна 0 только тогда, когда числитель равен 0:

15 · (х-1) + 15 · (х+ 1) – 8 · (х – 1)(х+1) = 0

15х – 15 + 15х + 15 – 8х2 + 8 = 0

– 8х2 + 30х + 8 = 0

2 — 15х – 4 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

х1 = 4

х2 = -2/8

Известно, что скорость отрицательной быть не может, поэтому

4 км/ч – собственная скорость лодки.

Ответ: 4

Задание 13 (№ 5967)

Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.

Решение

  1. Для решения данной задачи необходимо знать зависимость между расстоянием, скоростью и временем:

S = v · t, где S – расстояние пройденное за время t при скорости v.

Из этой зависимости можно спокойно выразить и время, и скорость.

  1. Нам известно, что расстояние между пунктами А и В равно 15 км, то есть

S = 15 км

  1. Пусть х (км/ч) – скорость байдарки, тогда

х + 2 (км/ч) – скорость байдарки по течению реки;

х — 2 (км/ч) – скорость байдарки против течения реки.

  1. Время, за которое проплыла байдарка путь из пункта А в пункт В, равно:

t1 = 15 : (x + 2);

  1. Время, за которое проплыла байдарка путь из пункта В в пункт А, равно:

t2 = 15 : (x – 2)

  1. Известно, что пробыв в пункте В 1 час 20 минут (4/3 часа), байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00 того же дня, то есть

t1 + t2 + 4/3 = 16:00 – 10:00 = 6, тогда получим следующее уравнение:

15 : (x + 2) + 15 : (x — 2) + 4/3 = 6

Осталось решить данное уравнение (приводим всё к общему знаменателю):

15 : (x + 2) + 15 : (x — 2) + 4/3 – 6 = 0

15 : (x + 2) + 15 : (x — 2) — 14/3 = 0

(15 · (х-2) · 3 + 15 · (х+2) · 3 – 14 · (х – 2)(х+2)) : (3 · (х – 2)(х+2)) = 0

Дробь равна 0 только тогда, когда числитель равен 0:

15 · (х-2) · 3 + 15 · (х+2) · 3 – 14 · (х – 2)(х+2) = 0

45х – 90 + 45х + 90 – 14х2 + 56 = 0

– 14х2 + 90х + 56 = 0

2 — 45х – 28 = 0

Решим квадратное уравнение c помощью дискриминанта:

х1 = 7

х2 = -8/14

Известно, что скорость отрицательной быть не может, поэтому

7 км/ч – собственная скорость байдарки.

Ответ: 7

Задание 13 (№ 5965)

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 30 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 1 часа 20 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч?

Решение

  1. Для решения данной задачи необходимо знать зависимость между расстоянием, скоростью и временем:

S = v · t, где S – расстояние пройденное за время t при скорости v.

Из этой зависимости можно спокойно выразить и время, и скорость.

  1. Так же сразу переведем 1 часа 20 минут в часы:

1 часа 20 минут = 4/3 часа

  1. Нам известно, что расстояние между пунктами А и В равно 30 км, то есть

S = 30 км

  1. Пусть х (км/ч) – скорость велосипедиста, тогда

х + 30 (км/ч) – скорость автомобилиста.

  1. Время, за которое проехал путь автомобилист, равно:

t1 = 30 / (x + 30);

  1. Время, за которое проехал весь путь велосипедист, равно:

t2 = 30 / x

  1. Известно, что велосипедист прибыл в пункт В на 4/3 часа позже автомобилиста, то есть t1 = t2 – 4/3,  тогда получим следующее уравнение:

30 : (x + 30) = 30 : x – 4/3

Осталось решить данное уравнение (приводим всё к общему знаменателю):

30 : (x +30)  = (30 – 4/3 · х) : х

30 : (x + 30) — (30 – 4/3х) : х = 0

(30х — (30 –4/3х) · (x + 30)) : (х(х + 30)) = 0

(30х – 30х + 4/3х2 – 30 · 30 + 4/3·30·х) : (х(х + 30)) = 0

(4/3х2 – 30 · 30 + 4/3·30·х) : (х(х + 30)) = 0

Дробь равна 0 только тогда, когда числитель равен 0:

4/3х2 – 30 · 30 + 4/3·30·х = 0

х2 +30·х — 675 = 0

Решим квадратное уравнение c помощью теоремы Виета или через дискриминант:

х1 = 15

х2 = -45

Известно, что скорость отрицательной быть не может, поэтому

15 км/ч – скорость велосипедиста.

Ответ: 15

Задание 13 (№ 5963)

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 50 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 3 часа 20 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч?

Решение

  1. Для решения данной задачи необходимо знать зависимость между расстоянием, скоростью и временем:

S = v · t, где S – расстояние пройденное за время t при скорости v.

Из этой зависимости можно спокойно выразить и время, и скорость.

  1. Так же сразу переведем 3 часа 20 минут в часы:

3 часа 20 минут = 10/3 часа

  1. Нам известно, что расстояние между пунктами А и В равно 40 км, то есть

S = 40 км

  1. Пусть х (км/ч) – скорость велосипедиста, тогда

х + 50 (км/ч) – скорость автомобилиста.

  1. Время, за которое проехал путь автомобилист, равно:

t1 = 40 / (x + 50);

  1. Время, за которое проехал весь путь велосипедист, равно:

t2 = 40 / x

  1. Известно, что велосипедист прибыл в пункт В на 10/3 часа позже автомобилиста, то есть t1 = t2 – 10/3,  тогда получим следующее уравнение:

40 : (x + 50) = 40 : x – 10/3

Осталось решить данное уравнение (приводим всё к общему знаменателю):

40 : (x +50)  = (40 – 10/3 · х) : х

40 : (x + 50) — (40 – 10/3х) : х = 0

(40х — (40 –10/3х) · (x + 50)) : (х(х + 50)) = 0

(40х – 40х + 10/3х2 – 40 · 50 + 10/3·50·х) : (х(х + 50)) = 0

(10/3х2 – 40 · 50 + 10/3·50·х) : (х(х + 50)) = 0

Дробь равна 0 только тогда, когда числитель равен 0:

10/3х2 – 40 · 50 + 10/3·50·х = 0

х2 +50·х — 600 = 0

Решим квадратное уравнение c помощью теоремы Виета или через дискриминант:

х1 = 10

х2 = -60

Известно, что скорость отрицательной быть не может, поэтому

10 км/ч – скорость велосипедиста.

Ответ: 10

Задание 13 (№ 5961)

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 60 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2 часа 40 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч?

Решение

  1. Для решения данной задачи необходимо знать зависимость между расстоянием, скоростью и временем:

S = v · t, где S – расстояние пройденное за время t при скорости v.

Из этой зависимости можно спокойно выразить и время, и скорость.

  1. Так же сразу переведем 2 часа 40 минут в часы:

2 часа 40 минут = 8/3 часа

  1. Нам известно, что расстояние между пунктами А и В равно 50 км, то есть

S = 50 км

  1. Пусть х (км/ч) – скорость велосипедиста, тогда

х + 60 (км/ч) – скорость автомобилиста.

  1. Время, за которое проехал путь автомобилист, равно:

t1 = 50 / (x + 60);

  1. Время, за которое проехал весь путь велосипедист, равно:

t2 = 50 / x

  1. Известно, что велосипедист прибыл в пункт В на 8/3 часа позже автомобилиста, то есть t1 = t2 – 8/3,  тогда получим следующее уравнение:

50 : (x + 60) = 50 : x – 8/3

Осталось решить данное уравнение (приводим всё к общему знаменателю):

50 : (x +60)  = (50 – 8/3 · х) : х

50 : (x + 60) — (50 – 8/3х) : х = 0

(50х — (50 –8/3х) · (x + 60)) : (х(х + 60)) = 0

(50х – 50х + 8/3х2 – 50 · 60 + 8/3·60·х) : (х(х + 60)) = 0

(8/3х2 – 50 · 60 + 8/3·60·х) : (х(х + 60)) = 0

Дробь равна 0 только тогда, когда числитель равен 0:

8/3х2 – 50 · 60 + 8/3·60·х = 0

х2 +60·х — 1125 = 0

Решим квадратное уравнение c помощью теоремы Виета или через дискриминант:

х1 = 15

х2 = -75

Известно, что скорость отрицательной быть не может, поэтому

15 км/ч – скорость велосипедиста.

Ответ: 15

Задание 13 (№ 5959)

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 70 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 3,5 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч?

Решение

  1. Для решения данной задачи необходимо знать зависимость между расстоянием, скоростью и временем:

S = v · t, где S – расстояние пройденное за время t при скорости v.

Из этой зависимости можно спокойно выразить и время, и скорость.

  1. Нам известно, что расстояние между пунктами А и В равно 40 км, то есть

S = 40 км

  1. Пусть х (км/ч) – скорость велосипедиста, тогда

х + 70 (км/ч) – скорость автомобилиста.

  1. Время, за которое проехал путь автомобилист, равно:

t1 = 40 / (x + 70);

  1. Время, за которое проехал весь путь велосипедист, равно:

t2 = 40 / x

  1. Известно, что велосипедист прибыл в пункт В на 3,5 часов позже автомобилиста, то есть t1 = t2 – 3,5, тогда получим следующее уравнение:

40 : (x + 70) = 40 : x – 3,5

Осталось решить данное уравнение (приводим всё к общему знаменателю):

40 : (x + 70)  = (40 – 3,5 · х) : х

40 : (x + 70) — (40 – 3,5х) : х = 0

(40х — (40 –3,5х) · (x + 70)) : (х(х + 70)) = 0

(40х – 40х + 3,5х2 – 40 · 70 + 3,5·70·х) : (х(х + 70)) = 0

(3,5х2 – 40 · 70 + 3,5·70·х) : (х(х + 70)) = 0

Дробь равна 0 только тогда, когда числитель равен 0:

3,5х2 – 40 · 70 + 3,5·70·х = 0

х2 + 70·х — 800 = 0

Решим квадратное уравнение c помощью теоремы Виета или через дискриминант:

х1 = 10

х2 = -80

Известно, что скорость отрицательной быть не может, поэтому

10 км/ч – скорость велосипедиста.

Ответ: 10

Задание 13 (№ 5957)

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 110 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 5,5 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч?

Решение

  1. Для решения данной задачи необходимо знать зависимость между расстоянием, скоростью и временем:

S = v · t, где S – расстояние пройденное за время t при скорости v.

Из этой зависимости можно спокойно выразить и время, и скорость.

  1. Нам известно, что расстояние между пунктами А и В равно 60 км, то есть

S = 60 км

  1. Пусть х (км/ч) – скорость велосипедиста, тогда

х + 110 (км/ч) – скорость автомобилиста.

  1. Время, за которое проехал путь автомобилист, равно:

t1 = 60 / (x + 110);

  1. Время, за которое проехал весь путь велосипедист, равно:

t2 = 60 / x

  1. Известно, что велосипедист прибыл в пункт В на 5,5 часов позже автомобилиста, то есть t1 = t2 – 5,5, тогда получим следующее уравнение:

60 : (x + 110) = 60 : x – 5,5

Осталось решить данное уравнение (приводим всё к общему знаменателю):

60 : (x + 110)  = (60 – 5,5 · х) : х

60 : (x + 110) — (60 – 5,5х) : х = 0

(60х — (60 – 5,5х) · (x + 110)) : (х(х + 110)) = 0

(60х – 60х + 5,5х2 – 60 · 110 + 5,5·110·х) : (х(х + 110)) = 0

(5,5х2 – 60 · 110 + 5,5·110·х) : (х(х + 110)) = 0

Дробь равна 0 только тогда, когда числитель равен 0:

5,5х2 – 60 · 110 + 5,5·110·х = 0

х2 + 110·х — 1200 = 0

Решим квадратное уравнение c помощью теоремы Виета или через дискриминант:

х1 = 10

х2 = -120

Известно, что скорость отрицательной быть не может, поэтому

10 км/ч – скорость велосипедиста.

Ответ: 10