Архивы категории: Задание 20 (Базовый уровень)

Задание 20 — Викторина из 50 вопросов

Условие:

Список за­да­ний вик­то­ри­ны со­сто­ял из 50 вопросов. За каж­дый пра­виль­ный ответ уче­ник по­лу­чал 9 очков, за не­пра­виль­ный ответ с него спи­сы­ва­ли 14 очков, а при от­сут­ствии от­ве­та да­ва­ли 0 очков. Сколь­ко вер­ных от­ве­тов дал ученик, на­брав­ший 207 очков, если известно, что по край­ней мере один раз он ошибся?

Решение:

Пусть ученик дал Х — правильных ответов, У — неправильных ответов (У ≥ 1, так как ученик по край­ней мере один раз ошибся) , Z раз не дал ответа.

Всего вопросов в викторине — 50, тогда получим следующее 1-ое уравнение:  Х + У + Z = 50.

В результате викторины ученик набрал 207 очков (за правильный ответ получал 9 очков; за неправильный с него списывали 14 очков; при отсутствии ответа давали 0 очков) , поэтому второе уравнение примет следующий вид: 9Х — 14У + 0Z = 207.

В итоге имеем следующую систему с тремя переменными:

Из второго уравнения: 9Х — 14У + 0Z = 207 ⇒ 9Х — 14У  = 207 ⇒ 9Х — 207 = 14У  ⇒ 9 (Х — 23) = 14У ⇒

Мы видим, что левая часть, получившегося уравнения, делится на 9, а это значит, что и правая часть делится на 9, то есть 14У делится на 9. Рассмотрим следующие случаи:

  1. У = 9, тогда 9 (Х — 23) = 14У = 14 · 9  ⇒ 9 (Х — 23) = 126 ⇒ Х — 23 = 14 ⇒ Х = 37 .  Тогда 37 + 9 + Z = 50 ⇒ Z = 4
  2. У = 18, тогда 9 (Х — 23) = 14У = 14 · 18  ⇒ 9 (Х — 23) = 252 ⇒ Х — 23 = 28 ⇒ Х = 51.  Тогда 51 + 18 + Z ≠ 50 ⇒ пришли к противоречию условиям задачи.

Делаем вывод, что ученик дал 37 правильных ответа.

Ответ: 37

Задание 20 — Викторина из 33 вопросов

Условие:

Список за­да­ний вик­то­ри­ны со­сто­ял из 33 вопросов. За каж­дый пра­виль­ный ответ уче­ник по­лу­чал 7 очков, за не­пра­виль­ный ответ с него спи­сы­ва­ли 12 очков, а при от­сут­ствии от­ве­та да­ва­ли 0 очков. Сколь­ко вер­ных от­ве­тов дал ученик, на­брав­ший 70 очков, если известно, что по край­ней мере один раз он ошибся?

Решение:

Пусть ученик дал Х — правильных ответов, У — неправильных ответов (У ≥ 1, так как ученик по край­ней мере один раз ошибся) , Z раз не дал ответа.

Всего вопросов в викторине — 33, тогда получим следующее 1-ое уравнение:  Х + У + Z = 33.

В результате викторины ученик набрал 70 очков (за правильный ответ получал 7 очков; за неправильный с него списывали 12 очков; при отсутствии ответа давали 0 очков) , поэтому второе уравнение примет следующий вид: 7Х — 12У + 0Z = 70.

В итоге имеем следующую систему с тремя переменными:

Из второго уравнения: 7Х — 12У + 0Z = 70 ⇒ 7Х — 12У  = 70 ⇒ 7Х — 70 = 12У  ⇒ 7 (Х — 10) = 12У ⇒

Мы видим, что левая часть, получившегося уравнения, делится на 7, а это значит, что и правая часть делится на 7, то есть 12У делится на 7. Рассмотрим следующие случаи:

  1. У = 7, тогда 7 (Х — 10) = 12У = 12 · 7  ⇒ 7 (Х — 10) = 84 ⇒ Х — 10 = 12 ⇒ Х = 22 .  Тогда 22 + 7 + Z = 33 ⇒ Z = 4
  2. У = 14, тогда 7 (Х — 10) = 12У = 12 · 14  ⇒ 7 (Х — 10) = 168 ⇒ Х — 10 = 24 ⇒ Х = 34 .  Тогда 34 + 14 + Z ≠ 33 ⇒ пришли к противоречию условиям задачи.

Делаем вывод, что ученик дал 22 правильных ответа.

Ответ: 22

Задание 20 — Викторина из 33 вопросов

Условие:

Список за­да­ний вик­то­ри­ны со­сто­ял из 33 вопросов. За каж­дый пра­виль­ный ответ уче­ник по­лу­чал 7 очков, за не­пра­виль­ный ответ с него спи­сы­ва­ли 11 очков, а при от­сут­ствии от­ве­та да­ва­ли 0 очков. Сколь­ко вер­ных от­ве­тов дал ученик, на­брав­ший 84 очка, если известно, что по край­ней мере один раз он ошибся?

Решение:

Пусть ученик дал Х — правильных ответов, У — неправильных ответов (У ≥ 1, так как ученик по край­ней мере один раз ошибся) , Z раз не дал ответа.

Всего вопросов в викторине — 33, тогда получим следующее 1-ое уравнение:  Х + У + Z = 33.

В результате викторины ученик набрал 84 очка (за правильный ответ получал 7 очков; за неправильный с него списывали 11 очков; при отсутствии ответа давали 0 очков) , поэтому второе уравнение примет следующий вид: 7Х — 11У + 0Z = 84.

В итоге имеем следующую систему с тремя переменными:

Из второго уравнения: 7Х — 11У + 0Z = 84 ⇒ 7Х — 11У  = 84 ⇒ 7Х — 84 = 11У  ⇒ 7 (Х — 12) = 11У ⇒

Мы видим, что левая часть, получившегося уравнения, делится на 7, а это значит, что и правая часть делится на 7, то есть 11У делится на 7. Рассмотрим следующие случаи:

  1. У = 7, тогда 7 (Х — 12) = 11У = 11 · 7  ⇒ 7 (Х — 12) = 77 ⇒ Х — 12 = 11 ⇒ Х = 23 .  Тогда 23 + 7 + Z = 33 ⇒ Z = 3
  2. У = 14, тогда 7 (Х — 12) = 11У = 11 · 14  ⇒ 7 (Х — 12) = 154 ⇒ Х — 12 = 22 ⇒ Х = 34 .  Тогда 36 + 14 + Z ≠ 33 ⇒ пришли к противоречию условиям задачи.

Делаем вывод, что ученик дал 23 правильных ответов.

Ответ: 23

Задание 20 — Викторина из 25 вопросов

Условие:

Список за­да­ний вик­то­ри­ны со­сто­ял из 25 вопросов. За каж­дый пра­виль­ный ответ уче­ник по­лу­чал 7 очков, за не­пра­виль­ный ответ с него спи­сы­ва­ли 10 очков, а при от­сут­ствии от­ве­та да­ва­ли 0 очков. Сколь­ко вер­ных от­ве­тов дал ученик, на­брав­ший 42 очка, если известно, что по край­ней мере один раз он ошибся?

Решение:

Пусть ученик дал Х — правильных ответов, У — неправильных ответов (У ≥ 1, так как ученик по край­ней мере один раз ошибся) , Z раз не дал ответа.

Всего вопросов в викторине — 25, тогда получим следующее 1-ое уравнение:  Х + У + Z = 25.

В результате викторины ученик набрал 56 очков (за правильный ответ получал 7 очков; за неправильный с него списывали 9 очков; при отсутствии ответа давали 0 очков) , поэтому второе уравнение примет следующий вид: 7Х — 10У + 0Z = 42.

В итоге имеем следующую систему с тремя переменными:

Из второго уравнения: 7Х — 10У + 0Z = 42 ⇒ 7Х — 10У  = 42 ⇒ 7Х — 42 = 10У  ⇒ 7 (Х — 6) = 10У ⇒

Мы видим, что левая часть, получившегося уравнения, делится на 7, а это значит, что и правая часть делится на 7, то есть 10У делится на 7. Рассмотрим следующие случаи:

  1. У = 7, тогда 7 (Х — 6) = 10У = 10 · 7  ⇒ 7 (Х — 6) = 70 ⇒ Х — 6 = 10 ⇒ Х = 16 .  Тогда 16 + 7 + Z = 25 ⇒ Z = 2
  2. У = 14, тогда 7 (Х — 6) = 10У = 10 · 14  ⇒ 7 (Х — 6) = 140 ⇒ Х — 6 = 20 ⇒ Х = 26 .  Тогда 26 + 14 + Z ≠ 25 ⇒ пришли к противоречию условиям задачи.

Делаем вывод, что ученик дал 16 правильных ответов.

Ответ: 16

Задание 20 — Список заданий из 25 вопросов

Условие:

Список за­да­ний вик­то­ри­ны со­сто­ял из 25 вопросов. За каж­дый пра­виль­ный ответ уче­ник по­лу­чал 7 очков, за не­пра­виль­ный ответ с него спи­сы­ва­ли 9 очков, а при от­сут­ствии от­ве­та да­ва­ли 0 очков. Сколь­ко вер­ных от­ве­тов дал ученик, на­брав­ший 56 очков, если известно, что по край­ней мере один раз он ошибся?

Решение:

Пусть ученик дал Х — правильных ответов, У — неправильных ответов (У ≥ 1, так как ученик по край­ней мере один раз ошибся) , Z раз не дал ответа.

Всего вопросов в викторине — 25, тогда получим следующее 1-ое уравнение:  Х + У + Z = 25.

В результате викторины ученик набрал 56 очков (за правильный ответ получал 7 очков; за неправильный с него списывали 9 очков; при отсутствии ответа давали 0 очков) , поэтому второе уравнение примет следующий вид: 7Х — 9У + 0Z = 56.

В итоге имеем следующую систему с тремя переменными:

Из второго уравнения: 7Х — 9У + 0Z = 56 ⇒ 7Х — 9У  = 56 ⇒ 7Х — 56 = 9У  ⇒ 7 (Х — 8) = 9У

Мы видим, что левая часть, получившегося уравнения, делится на 7, а это значит, что и правая часть делится на 7, то есть 9У делится на 7. Рассмотрим следующие случаи:

  1. У = 7, тогда 7 (Х — 8) = 9У = 9 · 7  ⇒ 7 (Х — 8) = 63 ⇒ Х — 8 = 9 ⇒ Х = 17 .  Тогда 17 + 7 + Z = 25 ⇒ Z = 1
  2. У = 14, тогда 7 (Х — 8) = 9У = 9 · 14  ⇒ 7 (Х — 8) = 126 ⇒ Х — 8 = 18 ⇒ Х = 26 .  Тогда 26 + 14 + Z ≠ 25 ⇒ пришли к противоречию условиям задачи.

Делаем вывод, что ученик дал 17 правильных ответов.

Ответ: 17

Задание 20 — 10 распилов

Условие:

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 10 поперечных распилов, в итоге получилось 17 кусков. Сколько досок взяли?

Решение:

Возьмем одну доску и распилим её 10-ью поперечными распилами. В итоге получим 11 кусков.

Теперь возьмем две доски и распилим их 10-ью поперечными распилами (произвольным образом). В итоге получим 12 кусков.

Возьмем три доски и распилим их 10-ью поперечными распилами (произвольным образом). В итоге получим 13 кусков.

и т.д.

Получаем закономерность: при распиливании X досок 10-ью поперечными распилами, получаем (10 + X) кусков. На основе данной закономерности и условий задачи получаем следующее уравнение, где Х — количество досок, которые необходимо распилить:

10 + Х = 17

Х = 7 досок

Ответ: 7

Задание 20 — 5 распилов

Условие:

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 5 поперечных распилов, в итоге получилось 23 куска. Сколько досок взяли?

Решение:

Возьмем одну доску и распилим её 5-ью поперечными распилами. В итоге получим 6 кусков.

Теперь возьмем две доски и распилим их 5-ью поперечными распилами (произвольным образом). В итоге получим 7 кусков.

Возьмем три доски и распилим их 5-ью поперечными распилами (произвольным образом). В итоге получим 8 кусков.

и т.д.

Получаем закономерность: при распиливании X досок 5-ью поперечными распилами, получаем (5 + X) кусков. На основе данной закономерности и условий задачи получаем следующее уравнение, где Х — количество досок, которые необходимо распилить:

5 + Х = 23

Х = 18 досок

Ответ: 18

Задание 20 — 8 распилов

Условие:

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 8 поперечных распилов, в итоге получилось 19 кусков.Сколько досок взяли?

Решение:

Возьмем одну доску и распилим её 8-ью поперечными распилами. В итоге получим 9 кусков.

Теперь возьмем две доски и распилим их 8-ью поперечными распилами (произвольным образом). В итоге получим 10 кусков.

Возьмем три доски и распилим их 8-ью поперечными распилами (произвольным образом). В итоге получим 11 кусков.

и т.д.

Получаем закономерность: при распиливании X досок 8-ью поперечными распилами, получаем (8 + X) кусков. На основе данной закономерности и условий задачи получаем следующее уравнение, где Х — количество досок, которые необходимо распилить:

8 + Х = 19

Х = 11 досок

Ответ: 11

Задание 20 — 11 распилов

Условие:

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 11 поперечных распилов, в итоге получилось 16 кусков.Сколько досок взяли?

Решение:

Возьмем одну доску и распилим её 11-ью поперечными распилами. В итоге получим 12 кусков.

Теперь возьмем две доски и распилим их 11-ью поперечными распилами (произвольным образом). В итоге получим 13 кусков.

Возьмем три доски и распилим их 11-ью поперечными распилами (произвольным образом). В итоге получим 14 кусков.

и т.д.

Получаем закономерность: при распиливании X досок 11-ью поперечными распилами, получаем (11 + X) кусков. На основе данной закономерности и условий задачи получаем следующее уравнение, где Х — количество досок, которые необходимо распилить:

11 + Х = 16

Х = 5 досок

Ответ: 5

Задание 20 — 13 распилов

Условие:

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 13 поперечных распилов, в итоге получилось 18 кусков.Сколько досок взяли?

Решение:

Возьмем одну доску и распилим её 13-ью поперечными распилами. В итоге получим 14 кусков.

Теперь возьмем две доски и распилим их 13-ью поперечными распилами (произвольным образом). В итоге получим 15 кусков.

Возьмем три доски и распилим их 13-ью поперечными распилами (произвольным образом). В итоге получим 16 кусков.

и т.д.

Получаем закономерность: при распиливании X досок 13-ью поперечными распилами, получаем (13 + X) кусков. На основе данной закономерности и условий задачи получаем следующее уравнение, где Х — количество досок, которые необходимо распилить:

13 + Х = 18

Х = 5 досок

Ответ: 5