Список за­да­ний вик­то­ри­ны из 50 вопросов, за каждый пра­виль­ный 9 очков

Задание

Список за­да­ний вик­то­ри­ны со­сто­ял из 50 вопросов. За каж­дый пра­виль­ный ответ уче­ник по­лу­чал 9 очков, за не­пра­виль­ный ответ с него спи­сы­ва­ли 14 очков, а при от­сут­ствии от­ве­та да­ва­ли 0 очков. Сколь­ко вер­ных от­ве­тов дал ученик, на­брав­ший 207 очков, если известно, что по край­ней мере один раз он ошибся?

Решение

Пусть ученик дал Х — правильных ответов, У — неправильных ответов (У ≥ 1, так как ученик по край­ней мере один раз ошибся) , Z раз не дал ответа.

Всего вопросов в викторине — 50, тогда получим следующее 1-ое уравнение:  Х+Y+Z = 50.

В результате викторины ученик набрал 207 очков (за правильный ответ получал 9 очков; за неправильный с него списывали 14 очков; при отсутствии ответа давали 0 очков) , поэтому второе уравнение примет следующий вид: 9Х-14Y+0Z=207.

В итоге имеем следующую систему с тремя переменными:

Из второго уравнения: 9Х-14У+0Z = 207 ⇒ 9Х-14Y = 207 ⇒ 9Х — 207 = 14Y ⇒ 9*(Х-23) = 14У ⇒

Мы видим, что левая часть, получившегося уравнения, делится на 9, а это значит, что и правая часть делится на 9, то есть 14У делится на 9. Рассмотрим следующие случаи:

1. У = 9, тогда 9*(Х-23) = 14Y = 14*9 ⇒ 9*(Х-23) = 126 ⇒ Х-23 = 14 ⇒ Х = 37 .  Тогда 37+9+Z = 50 ⇒ Z = 4
2. Y=18, тогда 9*(Х-23) = 14Y = 14*18 ⇒ 9*(Х-23) = 252 ⇒ Х-23 = 28 ⇒ Х=51.  Тогда 51+18+Z ≠ 50 ⇒ пришли к противоречию условиям задачи.

Делаем вывод, что ученик дал 37 правильных ответа.

Ответ: 37