Задача 16 (№ 6449)

Через точку, делящую высоту конуса в отношение 1 : 2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объем этого конуса, если объем конуса, отсекаемого от данного конуса, проведенной плоскостью, равен 10.

6449

  1. Объем конуса равен одной трети произведения площади его основания на высоту. Основанием конуса является круг, тогда объем конуса равен:

V = 1/3 Sоснования · h =1/3 πD2/4 · h

  1. Для удобства введем буквенные обозначения (так как представлено на рисунке).
  2. Треугольники АВС и АНМ – подобны по трем углам. Из подобия треугольников следует:

ВС : НМ = AO : OS = 1 : 2 (по условию), получаем

НМ = 2ВС

АО = 2OS

  1. Тогда объём изначального конуса равен:

V1 = 1/3 πD2/4 · h = 1/3 π · НМ2 · АO =1/3 π · (2BC)2 · (2OS)

  1. Объём второго конуса (отсекаемого от исходного) равен:

V2 = 1/3 πD2/4 · h = 1/3 π · ВС2 · OS = 10

  1. Определим, во сколько раз объем изначального конуса больше объема отсекаемого. Для этого разделим объем первого конуса на объем второго:

V1 / V2 = (1/3 π · (2BC)2 · (2OS))  / (1/3 π · ВС2 · OS) = в 8 раза объем изначального конуса больше объема отсекаемого.

  1. Осталось найти объем исходного (большего) конуса:

V1 = V2 · 8 = 10 · 8 = 80 – объем исходного конуса

Ответ: 80