Задача 16 (№ 6347)

Объем конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношение 1 : 2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объем конуса, отсекаемого от данного конуса, проведенной плоскостью.

6347

Решение

  1. Объем конуса равен одной трети произведения площади его основания на высоту. Основанием конуса является круг, тогда объем конуса равен:

V = 1/3 Sоснования · h =1/3 πD2/4 · h

  1. Для удобства введем буквенные обозначения (так как представлено на рисунке).
  2. Треугольники АВС и АНМ – подобны по трем углам. Из подобия треугольников следует:

ВС : НМ = AO : OS = 1 : 2 (по условию), получаем

НМ = 2ВС

АО = 2OS

  1. Тогда объём изначального конуса равен:

V1 = 1/3 πD2/4 · h = 1/3 π · НМ2 · АO =1/3 π · (2BC)2 · (2OS) = 27

  1. Объём второго конуса (отсекаемого от исходного) равен:

V2 = 1/3 πD2/4 · h = 1/3 π · ВС2 · OS

  1. Определим, во сколько раз объем изначального конуса больше объема отсекаемого. Для этого разделим объем первого конуса на объем второго:

V1 / V2 = (1/3 π · (2BC)2 · (2OS))  / (1/3 π · ВС2 · OS) = в 8 раза объем изначального конуса больше объема отсекаемого.

  1. Осталось найти объем конуса, отсекаемого от исходного конуса, проведенной плоскостью:

V2 = V1 / 8 = 27 / 8 = 3,375 – объем конуса, отсекаемого от исходного конуса.

Ответ: 3,375