Задача 13 (№ 1760) — В сосуде, имеющем форму конуса

Условие

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объем сосуда 1400 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллиметрах.

1

Решение

  1. Объем конуса, который равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга:

 V = 1/3 · h · Socн = 1/3 · h · π · (D/2)2.

  1. Для решения данной задачи будем рассматривать объемы двух конусов:

объем конуса, у которого уровень жидкости равен 1/2  высоты – V1/2,

объем конуса, равный объему сосуда – Vсосуд

  1. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания АВ в 2 раза, так как высота треугольника АSВ в 2 раза больше высоты треугольника А.
  2. АВ и АВ являются диаметрами оснований конусов.
  3. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

Vсосуд = 1/3 · h · π · (D/2)2

  1. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

V1/2 = 1/3 · h/2 · π · (D/2/2)2 = (1/3 · h · π · (D/2)2) / (2 · 4) = Vсосуд / 8

  1. Осталось подставить объем сосуда в полученную формулу и найти объем налитой жидкости:

V1/2 = Vсосуд / 8 = 1400 / 8 = 175 мл

Ответ:  175 мм