Задача 13 (№ 1705) — В сосуде, имеющем форму конуса

Условие

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объем жидкости равен 30 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1705

Решение

  1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга:

V = 1/3 · h · Socн = 1/3 · h · π · (D/2)2.

  1. Для решения данной задачи будем рассматривать объемы двух конусов:

объем конуса, у которого уровень жидкости равен 1/2  высоты – Vмен,

объем конуса, наполненный доверху – Vбол

  1. Нам известно, что высота большего конуса в два раза больше высоты меньшего.
  2. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.
  3. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания АВ в два раза, так как высота треугольника АSВ в два раза больше высоты треугольника А.
  4. АВ и АВ являются диаметрами оснований конусов.
  5. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

Vбол = 1/3 · h · π · (D/2)2

  1. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

Vмен = 1/3 · h/2 · π · (D/2/2)2 = (1/3 · h · π · (D/2)2) / (2 · 4) = Vбол / 8 = 30мл

  1. Найдем объем заполненного цилиндра, то есть объем большего конуса:

Vбол / 8 = 30мл

Vбол = 30 · 8 = 240 мл

  1. Осталось вычислить, сколько жидкости необходимо долить, чтобы заполнить сосуд доверху:

Vбол – Vмен = 240 – 30 = 210 мл необходимо долить.

Ответ: 210 мл.